斯特林数

简介

斯特林数是组合数学中的一个重要内容，有许多有用的性质。它由十八世纪的苏格兰数学家James Stirling首先发现并说明了它们的重要性。
斯特林数主要处理的是把\(N\)个不同的元素分成\(k\)个集合或环的个数问题。现在我们说的斯特林数可以指两类数，分为第一类斯特林数和第二类斯特林数，其中第一类斯特林数还分成有符号和无符号两种。

第一类斯特林数

这里仅讨论有符号的第一类斯特林数。
第一类斯特林数表示的是将\(n\)个不同元素分成\(k\)个不同的环的方案数。两个环不相同当且仅当这两个环不能通过旋转得到。表示方法为：

\[\begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} \]

考虑递推，把\(n\)个不同元素分成\(k\)个不同的环有两种转移。第一种，有可能是\(n-1\)个不同元素分成\(k-1\)个不同的环，当前的第\(n\)个独立成一个元素。第二种可能是\(n-1\)个不同元素已经分好了\(k\)个不同的环，当前这个可以加进去。加在每个已有元素的逆时针方向（或顺时针方向，方向没有关系，只要统一即可）就不会出现重复，共有\(n-1\)种方法，所以：

\[\begin{aligned} \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} &=1 \\ \begin{bmatrix} n \\ k \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} n-1 \\ k \end{bmatrix} *(n-1) \end{aligned} \]

这就是第一类斯特林数的递推式，也可以写成：

\[s(n,k)=s(n-1,k-1)+s(n-1,k)*(n-1) \]

性质

组合数学中的定理暴力求解可行，但是不好玩。所以组合数学中很多定理的证明是通过构造一个问题，用两种不同的方法计算，由于是同一个问题，那么算出来的答案一定是相等的，从而证明等式，简称“算两次”。
第一类斯特林数有如下特殊性质：

1. \(s(0,0)=1\)
2. \(s(n,0)=0~ (n>0)\)
3. \(s(n,1)=(n-1)!\)
4. \(s(n,n-1)=C_n^2\)
5. \(s(n,2)=(n-1)!*\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\)
6. \(s(n,n-2)=2C_n^3+3C_n^4\)
7. \(\sum _{k=0}^ns(n,k)=n!\)

下面给出性质1，3，4，5的证明。

性质一

显然，我们把\(n\)个元素排列起来，有\(n!\)种可能，首尾相接即可得到一个环。这里面每种情况重复了\(n\)次，因为可以旋转\(n\)次，所以除以\(n\)，得到\(s(n,1)=(n-1)!\).

性质三

\(s(n,2)=(n-1)!*\sum \_{i=1}^{n-1}\frac{1}{i}\)
这里给出数学归纳法的证明。
首先，\(s(2,2)=1*1=1\)，符合定义。
下面通过递推式和性质一证明性质三对于\(n\)也成立：

\[\begin{aligned} s(n+1,2)&=s(n,1)+s(n,2)*n \\ &=(n-1)!+n*(n-1)!*\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i} \\ &=(n-1)!+n!*\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i} \\ &=\frac{n!}{n}+n!*\sum _{i=1}^{n-1}\frac{1}{i} \\ &=n!*\sum _{i=1}^{n}\frac{1}{i} \\ \end{aligned} \]

得证！

性质四

同理可用数学归纳法强行计算。巧妙的方法我还没想到。

性质五

这里有一个巧妙地“算两次”方法。
首先构造一个问题，求\(n\)个数的所有排列。
首先用乘法原理直接得出结论，\(ans=n!\)。
我们知道，对于一个排列对应一个置换，即：

\[\begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\ a_1 & a_2 & ... & a_n \end{pmatrix} \]

把这个置换中的上下对应位置连边，可以得到许多的环。由于排列和置换是一一对应的，所以我们要求排列的个数，就是求用\(n\)个元素组成环的方案数，所以我们枚举环的个数:

\[n!=\sum _{k=1}^ns(n,k) \]

由于我们有\(s(n,0)=0\)，所以也可以写成：

\[\sum _{k=0}^ns(n,k)=n! \]

第二类斯特林数

第二类斯特林数表示把\(n\)个元素分成\(k\)个非空集合的方案数，集合内是无序的。这样，我们很容易得出转移：
分为两种情况。第一种情况，如果前\(n-1\)个元素组成了\(k-1\)个非空集合，那么当前元素自成一个集合。第二种情况，如果前\(n-1\)个元素组成了\(k\)个集合，那么当前的这个元素可以放进这\(k\)个集合中任意的一个。所以我们的到来递推方程：

\[\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}=\begin{Bmatrix} n-1 \\ k-1 \end{Bmatrix}+\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix}*k \]

也可以写成：

\[S(n,k)=S(n-1,k-1)+S(n-1,k)*k \]

性质

1. \(S(0,0)=1\)
2. \(S(n,0)=0,n>0\)
3. \(S(n,n)=1\)
4. \(S(n,2)=S(n-1,1)+S(n-1,2)*2=1+S(n-1,2)*2=2^{n-1}-1\)
5. \(S(n,n-1)=C_n^2\)
6. \(S(n,n-2)=C_n^3+3C_n^4\) 简单巧妙的证明：我们分成两种情况，把\(n\)个不同的元素分成\(n-2\)个集合有两种情况，分别是有一个集合有三个元素和有两个集合有两个元素。对于前者，我们选出三个元素为一个集合，其他的各成一个集合，这种情况的方案数就是\(C_n^3\)。对于后者，先选出四个元素来，考虑怎么分配。当其中一个元素选定另一个元素形成同一个集合时，这种情况就确定了，所以是\(3C_n^4\)。加法原理计算和即得证。
7. \(S(n,3)=\frac{1}{2}(3^{n-1}+1)-2^{n-1}\) 数学归纳法
8. \(S(n,n-3)=C_n^4+10C_n^5+15C_n^6\) 同性质六

通项公式：

\[S(n,m)=\frac{1}{m!} \sum _{k=0}^m (-1)^kC_m^k(m-k)^n \]

大概就是容斥原理，\(k\)枚举有多少个集合是空的，每种情况有\(C_m^k\)种空集情况，\(n\)个元素可以放进非空的\(m-k\)个集合中。这样求出来的答案是有序的，所以我们除以\(m!\)使得其变为无序。

此公式更直接的推导，可以使用生成函数，这篇文章 中给出了其中一种生成函数的推导方法。