bzoj3625-小朋友和二叉树
题目
给出\(n\)个互异的正整数序列，\(c_1,c_2...c_n\)。定义一颗带点权树的权值为所有点的权值和。给出一个整数\(m\)，请计算对于所有的\(i=1,2,3...,m\)，用\(c\)中的数能组成多少不同的二叉树（每个数可以重复使用）且二叉树的权值为\(i\)。答案对\(7*17*2^{23}+1=998244353\)取模。
Sample Input
对于\(n=2，c=\{1,2\}，i=3\)，有九个这样的二叉树：
分析
其实看到那个模数就可以想到要用到\(NTT\)了。
可以说第一次遇到这种题，但这种生成函数法的思想以前有接触过。
两个二叉树不同就是不全等，所以我们可以分成三部分，当前点，左子树和右子树。我们设一个函数\(f\)，\(f_i\)表示一个子树的点权和为\(i\)的情况数。再设\(v_i\)为权值\(i\)的个数，即有或没有。那么有：
这个式子其实可以用一个生成函数来表示。生成函数是指一种关于另一个函数\(g\)的形式函数，它的\(x^i\)项的系数为\(g(i)\)，可以这样表示：
我们设\(F\)为\(f\)的生成函数，\(C\)为\(v\)的生成函数，那么有：
那个1是从\(f_0=1\)来的。
我们要求的是\(F\)的\(1-m\)项的系数，所以要把\(F\)解出来。
通过F(0)=1判断取值，若取正号：
矛盾，所以不可取。若取负号：
所以我们要计算的\(F\)就是：
这里涉及到了多项式模意义下的求逆与开根。
多项式开根
运用分治和\(NTT\)即可在\(O(nlog^2n)\)的时间内实现。
考虑边界情况，如果多项式只有常数项，那么它的开根就是常数的开根。接下来考虑分治。
我们记符号\([k]\)表示多项式的\(0...k-1\)项模意义下同余。假设我们已经求出了\([\frac{n}{2}]\)的答案，现在考虑怎样求\([n]\)的。
第二行，由于\(H(x)\)满足\(0...n-2\)都符合要求，那么它一定满足\(0..\frac{n}{2}-1\)项的要求。
这里需要解释一下为什么第四行处平方后模数也跟着平方。由于第三行两个函数平方相减为0，所以对于所有的\(x\)都成立，所以只能是系数全为0。因此，后面在平方的时候，对于\(0...n-1\)项，它们得出的时候必定会有之前的\(0...{\frac{n}{2}-1}\)的因数，所以平方后\(0...n-1\)项也全为0。
多项式可以开根的条件就是常数项在模意义下可以开根，所以判断起来会比较麻烦，还要用到离散对数什么的。
多项式求逆
同样思路，我们考虑边界情况，如果多项式只有常数项，那么那么它的逆就是常数项的逆元。同样考虑分治，我们已经求出了能满足前一半的结果，现在考虑怎样求能够满足整个区间的结果。
就这样直接递归计算一下求逆和开根即可，也可以写成非递归的。
代码
调了好久，主要在于之前写的时候每次传入的\(len\)没有想清楚要不要左移右移，导致了一大堆错误。其实这种情况下重新写会更好。
小视野上两秒一个点跑过去了，bzoj不行，codeforces过了。
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cctype>
#include<cmath>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long giant;
giant read() {
giant x=0,f=1;
char c=getchar();
for (;!isdigit(c);c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
for (;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-'0';
return x*f;
}
const giant q=998244353;
const giant g=3;
const giant maxj=19;
const giant maxn=(1<<maxj)+1;
giant c[maxn],xj,go[maxn];
giant ws[maxj+1][2];
giant mi(giant x,giant y) {
giant ret=1;
while (y) {
if (y&1) (ret*=x)%=q;
y>>=1,(x*=x)%=q;
}
return ret;
}
giant inv(giant x) {
return mi(x,q-2);
}
void ntt(giant a[],giant M,giant o=1) {
go[0]=0;
for (xj=0;(1<<xj)!=M;++xj);
for (giant i=0;i<M;++i) go[i]=(go[i>>1]>>1)|((i&1)<<(xj-1));
for (giant i=0;i<M;++i) if (i<go[i]) swap(a[i],a[go[i]]);
for (giant i=2,th=1;i<=M;i<<=1,++th) {
for (giant j=0;j<M;j+=i) {
giant w=1;
for (giant k=j;k<j+i/2;++k,(w*=ws[th][o])%=q) {
giant u=a[k]%q,v=(a[k+i/2]*w)%q;
a[k]=(u+v+q)%q,a[k+i/2]=((u-v+q)%q+q)%q;
}
}
}
if (!o) {
giant tmp=inv(M);
for (giant i=0;i<M;++i) (a[i]*=tmp)%=q;
}
}
giant g1[maxn],g2[maxn],f[maxn],ia[maxn],ra[maxn],ig1[maxn],ig2[maxn],iif[maxn];
void Inv(giant a[],giant len) {
if (len==1) {
ia[0]=inv(a[0]);
return;
}
Inv(a,len>>1);
for (giant i=0;i<(len>>1);++i) ig1[i]=ig2[i]=ia[i];
for (giant i=0;i<len;++i) iif[i]=a[i];
ntt(iif,len<<1),ntt(ig2,len<<1),ntt(ig1,len<<1); //here
for (giant i=0;i<(len<<1);++i) {
iif[i]=((2*ig1[i]%q-(ig2[i]*ig2[i]%q)*iif[i]%q)%q+q)%q; //here
}
ntt(iif,len<<1,0); //here
for (giant i=0;i<len;++i) ia[i]=iif[i];
for (giant i=0;i<(len<<1);++i) iif[i]=ig1[i]=ig2[i]=0; //here
}
void Root(giant a[],giant len) {
if (len==1) {
ra[0]=sqrt(a[0]);
return;
}
Root(a,len>>1);
giant it=inv(2);
for (giant i=0;i<len;++i) f[i]=a[i];
for (giant i=0;i<(len>>1);++i) {
g1[i]=(ra[i]*it)%q;
g2[i]=(ra[i]*2)%q;
}
Inv(g2,len);
ntt(f,len<<1),ntt(ia,len<<1); // here
for (giant i=0;i<(len<<1);++i) (f[i]*=ia[i])%=q;
ntt(f,len<<1,0); // here
for (giant i=0;i<len;++i) ra[i]=(g1[i]+f[i])%q;
for (giant i=0;i<(len<<1);++i) f[i]=g1[i]=g2[i]=ia[i]=0; //here
}
int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("test.in","r",stdin);
#endif
giant n=read(),m=read();
giant tmp=1;
while (tmp<=(m<<1)) tmp<<=1;
for (giant i=1;i<=n;++i) c[read()]++;
for (giant i=0;i<tmp;++i) c[i]=((c[i]*-4)%q+q)%q;
for (giant i=0;i<=maxj;++i) {
ws[i][1]=mi(g,(q-1)/(1<<i));
ws[i][0]=inv(ws[i][1]);
}
(c[0]+=1)%=q;
Root(c,tmp>>1);
(ra[0]+=1)%=q;
Inv(ra,tmp);
for (giant i=1;i<=m;++i) (ia[i]*=2)%=q;
for (giant i=1;i<=m;++i) printf("%lld\n",ia[i]);
}
