最小树形图

最小树形图是在一个有向图中，找到一颗有向树使得边权和最小。

首先问题是为什么不能直接用kruskal或prim来做。考虑这个例子：

由于\(1\to 3,1\to 2\)的边权是一样的，所以都有可能被第一次选到，而如果选了\(1\to 3\)，那么很明显是错误的。但是如果是无向图就不会有这个问题。

所以对于有向图最小生成树，即最小树形图，我们可以使用\(O(VE)\)的朱刘算法，是由朱永津和刘振宏在1965年提出的。

首先，很显然的是，如果图不连通，那么最小树形图是不存在的，否则一定是存在的。

接下来考虑如何求最小树形图。算法步骤如下：

• dfs找出当前图中每个点的最小入边\(in[v]\)
• 如果当前的所有最小入边不构成环，那么这就是当前图的最小树形图，答案累加所有边权并返回。
• 否则先把答案累加环中的边权，再进行缩环。
  • 把环缩成一个点，设这个点为\(k\)，那么原来环中点到\(v\)的出边，其中边权最小为\(w\)，那么新边为\((k,v,w)\)
  • 对于环中点的入边\((u,v,w)\)，新边为\((u,k,min(w-in[v]))\)
• 重复上面的步骤

其中缩环的第二种情况的意义是，下一次求出到这个环中的边时，可以把对应的那条之前环中的边断掉。