「PKUWC2018」随机游走（min-max容斥+FWT）

「PKUWC2018」随机游走（min-max容斥+FWT）

以后题目都换成这种「」形式啦，我觉得好看。

做过重返现世的应该看到就想到 \(min-max\) 容斥了吧。

没错，我是先学扩展形式再学特殊形式的。

\[E(\text{max}(S))=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E(\text{min}(T)) \]

问题转化之后，然后我们可以枚举所有状态然后 \(O(n)\) 树形 \(dp\)

\(-1\) 那项可以 \(O(2^n)\) 推出来，接下来就是子集变换了。可以 \(O(n2^n)\) \(FWT\) 或者 \(O(3^n)\) 暴力枚举，自己喜欢哪种就上吧。

\(Code\ Below:\)

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=998244353;
int n,q,rt,lim,bin[20],a[20],b[20],d[20],f[1<<18],g[1<<18];
vector<int> G[20];

inline int fpow(int a,int b){
	int ret=1;
	for(;b;b>>=1,a=1ll*a*a%mod)
		if(b&1) ret=1ll*ret*a%mod;
	return ret;
}

void dfs(int x,int f,int S){
	if(S&bin[x]) return ;
	a[x]=d[x];b[x]=1;
	int tmp=1,y;
	vector<int>::iterator it;
	for(it=G[x].begin();it!=G[x].end();it++){
		y=*it;
		if(y==f) continue;
		dfs(y,x,S);
		tmp=(tmp-1ll*a[y]*d[x]%mod+mod)%mod;
		b[x]=(b[x]+1ll*b[y]*d[x]%mod)%mod;
	}
	tmp=fpow(tmp,mod-2);
	a[x]=1ll*a[x]*tmp%mod;
	b[x]=1ll*b[x]*tmp%mod;
}

inline void FWT(){
	for(int len=1;len<lim;len<<=1)
		for(int i=0;i<lim;i++)
			if(i&len) f[i]=(f[i]+f[i^len])%mod;
}

int main()
{
	scanf("%d%d%d",&n,&q,&rt);
	rt--;lim=1<<n;bin[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) bin[i]=bin[i-1]<<1;
	int x,y,k,S;
	for(int i=0;i<n-1;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		x--;y--;
		G[x].push_back(y);
		G[y].push_back(x);
		d[x]++;d[y]++;
	}
	for(int i=0;i<n;i++) d[i]=fpow(d[i],mod-2); 
	for(int i=0;i<lim;i++){
		for(int j=0;j<n;j++) a[j]=b[j]=0;
		dfs(rt,-1,i);f[i]=b[rt];
	}
	g[0]=-1;
	for(int i=1;i<lim;i++) g[i]=g[i>>1]*((i&1)?-1:1);
	for(int i=0;i<lim;i++){
		f[i]*=g[i];
		if(f[i]<0) f[i]+=mod;
	}
	FWT();
	while(q--){
		scanf("%d",&k);S=0;
		for(int i=1;i<=k;i++){
			scanf("%d",&x);
			S|=bin[x-1];
		}
		printf("%d\n",f[S]);
	}
	return 0;
}