GJK算法：两个凸集的碰撞测试

GJK算法用于判断两个凸集是否相交，以下在二维平面内讨论此算法。

1. 回顾凸集

凸集有很多定义，最常见的是：在集合中任取两点，连接这两点的线段在集合内，常见的三角形、椭圆等都是凸集。

对于凸集A, B, 从两集合中各取一点a, b, 所有a+b构成的集合称为A与B的闵可夫斯基和，记作A+B. 显然，A+B也是凸集。

A+B的大致模样

假设在原点有一支铅笔，用一根铁棒将铅笔与集合B连接，使得它们的相对位置不发生改变。之后用铅笔将集合A涂一遍，在此过程中B扫过的区域就是集合A+B.

还可以定义A与B的闵可夫斯基差A-B: 从两集合中各取一点a, b, 所有的a-b构成A-B. A-B也是个凸集，因为集合-B是B中所有点的坐标取反，相当于作关于原点的对称变换，自身形态并没有改变，因此-B也是凸集，A-B = A + (-B)亦是凸集。

至此，可以简述GJK算法的思想：对于凸集A, B，如果A, B相交，凸集A-B必然包含原点，GJK算法就是通过判断原点是否在A-B中。当然，我们不会直接计算出A-B, 因为基本上无法操作。对于二维平面，GJK算法会在A-B内找一个三角形，在迭代过程中不断更新三角形，使得三角形不断靠近原点。为了高效实现此目的，需要为凸集定义support方法。

此处有一个动画演示。

2. 凸集的support方法

support方法很简单：它接受一个二维向量direction作为输入，返回凸集在这个方向上最远的点：

复制代码

class ConvexSet:
    def support(direction: Vector2d) -> Vector2d:
        ...

例如，在下图中，圆在方向d₁上最远的点是图中标红的点，矩形在方向d₂上最远的点是图中标绿的点。如何找一个凸集沿着方向d 最远的点呢？作一条与d 垂直的直线l，然后沿着d 移动，直到一个极限的状态：如果沿着d 再移动一点点，凸集将会与直线l 没有任何交点；此时凸集与直线l 的交点就是沿着方向d 最远的点。

有的凸集沿某方向的最远点可能不止一个，例如以下矩形，整条蓝色边上的点都是沿方向d 最远的点，这时任取一个即可：

对于凸集边界上的任意一点s，存在过s 的直线（支撑超平面），使得凸集在直线的同一侧。给定方向d, support方法找到凸集沿此方向最远的点s（不难看出，s 在凸集的边界上），此时过点s 且与方向d 垂直的直线可以将整个凸集划分到直线的一侧（如上图所示）。此时，如果原点在直线的另一侧，则说明原点不在凸集中。

3. GJK算法

假设两个凸集为A和B, GJK算法的步骤如下：

1. 1. 随机选择一个初始方向d.
   2. 计算A沿着方向d 最远的点p_a 以及B沿着方向-d (注意，这里是-d )最远的点p_b.令p = p_a - p_{b .}
   3. 令S={ p }, 更新方向d =-p.
   4. 计算A沿着方向d 最远的点p_a 以及B沿着方向-d 最远的点p_b ,令p = p_a - p_b.
   5. 如果p 与d 的点乘小于0, 则A, B不相交, 返回false.
   6. 否则, 将p 添加到集合S中.
   7. 如果S包含原点, 则A, B相交, 返回true.否则，从S中选择距离原点最近的一条边, 更新方向d =这条边指向原点的方向，并跳转到第4步.

二维平面的一个点既可以看作是一个点，又可以看作是原点指向这一点的向量。因此，上述中出现的 -p 实际上指的是从点 p 指向原点的向量。

4. GJK算法的解读

前面说过，给定凸集A, B, GJK算法就是判断凸集A-B是否包含原点，只是它没有显式计算出A-B. 下面就来说明GJK算法的每一步都做了些什么。

我们没有必要知道A-B长什么样子，只要知道它是个凸集就够了。为了说明，可以想象下A-B的样子，比如说，A-B可能长成下面这样：

注意到GJK算法的一个关键操作：对于方向d, 计算p = A.support(d) - B.supoort(-d). 此时p 必然是A-B沿着方向d 最远的一个点。为什么？想一想，A.support(d)是A沿着方向d 最远的一个点，而B.support(-d)是B沿着方向-d 最远的一个点，考虑集合A-B的定义，还能在方向d 上找到一个更远的点吗？

例1：A与B不相交

GJK算法的第一步，随机选择一个方向，例如(1, 0), 然后计算出A.support((1, 0)) - B.supoort((-1, 0))（即凸集A-B中沿着(1, 0)最远的一个点，下图中标红的点，记作P₁）。下一步，将标红的点加入点集S, 并更新方向d 为标红的点指向原点（图中标黑的点）。

下一步，计算A.support(d) - B.supoort(-d)， 这个点位于下图中标绿的点，我们将这个点记作P_2. 可以看到，此时向量OP₂ 与d 的夹角大于90°，因此它们的点乘小于0. 从而说明原点O不可能在A-B中，从而可以判断A与B不相交。

例2：A与B相交

这种情况下，原点O在A-B的内部，前面的步骤同上。不过，此时向量OP₂ 与d 的点乘大于0, 如下图所示。

下一步，将P₂ 加入点集S. 此时S中只有两个点，直线P₁P₂ 显然不包含原点O. 下一步更新d为P₁P₂ 指向O的方向，如下图所示：

更新d 后，就开始了下一次的循环，计算A.support(d) - B.supoort(-d)， 这个点位于下图中标蓝的点，记作P_3. 如下图所示：

此时向量OP₃ 与d 的点乘仍然大于0. 下一步，P₁P₂P₃ 构成的三角形已经包含原点O. 从而说明A-B包含原点O, 即A, B相交。

例3：A与B相交

如果在例2中，P₁P₂P₃ 构成的三角形并不包含原点O. 这时就需要找到此三角形中与原点O 最近的那条边，更新点集S为这条边的两个顶点，接下来的步骤和例2中的相同：更新方向d 为这条边指向原点的方向，然后继续循环下去。

5. 小结

可以看到，GJK算法所做的，就是用一个三角形来近似两个凸集A,B的差A-B, 然后更新这个三角形使之不断接近原点。 GJK算法的泛化性也很强，如果对于不同类型的物体，每两个类型都要写一个碰撞检测算法，比如说圆与矩形、矩形与正六边形，那得写多少?！反而，GJK算法只要求物体是凸的，并提供support方法即可。