洛谷专题-多维DP
P1004方格取数(四维DP模板题)
题意:
一个矩阵，A从左上角走到右下角，B从右下角走到最下角问AB走过的路径和最大是多少，一个点只能被计算一次
思路：
定义dp[i][j][k][l]为A走到(i , j) B走到 (k , l) 的最大值
那么状态转移方程就为dp[i][j][k][l]=max( dp[i−1][j][k−1][l] , dp[i−1][j][k][l−1] , dp[i][j−1][k−1][l], dp[i][j−1][k][l−1]) + a[i][j] + a[k][l]
还需注意的是当 i==k && j==l时要减去一次a[i][j]的值，因此重复走一个点只能算一次
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn=10; int a[maxn][maxn],dp[maxn][maxn][maxn][maxn]; int main() { int n,x,y,c; scanf("%d",&n); while(scanf("%d%d%d",&x,&y,&c)&&x&&y&&c) a[x][y]=c; memset(dp,0,sizeof(0)); for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=n;j++){ for(int k=1;k<=n;k++){ for(int l=1;l<=n;l++){ dp[i][j][k][l]=max(dp[i-1][j][k-1][l],max(dp[i][j-1][k-1][l],max(dp[i-1][j][k][l-1], dp[i][j-1][k][l-1])))+a[i][j]+a[k][l]; if(i==k&&j==l) dp[i][j][k][l]-=a[i][j]; } } } } cout<<dp[n][n][n][n]<<endl; }
当然还可以降到三维dp[i][j][k]表示走了i步，A走到j行，B走到k行
那么转移方程式为max(dp[i-1][j][k] , dp[i-1][j-1][k-1] , dp[i-1][j-1][k] , dp[i-1][j][k-1])
仍要记得去重
#include<stdio.h> using namespace std; int n;int map[9][9]; int d[18][9][9];int res; int max(int a,int b,int c,int d) { return (((((a>b)?a:b)>c)?((a>b)?a:b):c)>d)?((((a>b)?a:b)>c)?((a>b)?a:b):c):d; } int main() { scanf("%d",&n); while (1) { int x;int y;int val; scanf("%d%d%d",&x,&y,&val); if(x==0&&y==0&&val==0)break; map[x-1][y-1]=val; } d[0][0][0]=map[0][0]; for(int i=0;i<2*n;i++){ for(int j=0;j<=i&&j<n;j++){ for(int k=0;k<=i&&k<n;k++){ if(i==0&&j==0&&k==0)continue; d[i][j][k]=map[j][i-j]+map[k][i-k]+ max(d[i-1][j][k],d[i-1][j-1][k-1],d[i-1][j-1][k],d[i-1][j][k-1]); if(j==k)d[i][j][k]-=map[j][i-j]; } } } res=d[2*(n-1)][n-1][n-1]; printf("%d",res); return 0; }
P1006传纸条
思路：
与上一题比较类似，就不赘述了
#include<stdio.h> using namespace std; int map[55][55]; int d[120][55][55];int res,n,m; int max(int a,int b,int c,int d) { return (((((a>b)?a:b)>c)?((a>b)?a:b):c)>d)?((((a>b)?a:b)>c)?((a>b)?a:b):c):d; } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&map[i][j]); d[1][1][1]=map[1][1]; for(int i=2;i<=n+m-1;i++){ for(int j=1;j<=i&&j<=n;j++){ for(int k=1;k<=i&&k<=n;k++){ if(k==1&&j==1) continue; d[i][j][k]=map[j][i-j+1]+map[k][i-k+1]+ max(d[i-1][j][k],d[i-1][j-1][k-1],d[i-1][j-1][k],d[i-1][j][k-1]); if(j==k)d[i][j][k]-=map[j][i-j+1]; } } } res=d[n+m-1][n][n]; printf("%d\n",res); return 0; }
P1387最大正方形
题意：
给一个01矩阵，问最大的全1子矩阵边长为多少
思路：
先看比较暴力的做法，定义dp[i][j]为右下角为(i,j)的全1矩阵边长最大值
所以我们枚举i，j再看看枚举边长(边长是肯定小于等于dp[i-1][j-1]+1)然后遍历矩阵来判断
遍历矩阵这个过程我们可以用前缀和进行优化将复杂度降至O(N3)
做完之后开了大佬的题解。。。。O(N2)即可
转移方程为f[i][j]=min(min( f[i][j - 1] , f[i-1][j] ), f[i-1][j-1]) + 1
代码是我的做法，略微复杂
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn=1e2+10; int sum1[maxn][maxn],sum2[maxn][maxn];//sum1为i行j列前缀和 int dp[maxn][maxn],a[maxn][maxn]; int n,m; void get_sum1()//列前缀和 { memset(sum1,0,sizeof(sum1)); for(int i=1;i<=m;i++){//枚举列 for(int j=1;j<=n;j++){ if(a[j][i]==1) sum1[j][i]=sum1[j-1][i]+1; else sum1[j][i]=sum1[j-1][i]; } } } void get_sum2()//列前缀和 { memset(sum2,0,sizeof(sum2)); for(int i=1;i<=n;i++){//枚举行 for(int j=1;j<=m;j++){ if(a[i][j]==1) sum2[i][j]=sum2[i][j-1]+1; else sum2[i][j]=sum2[i][j-1]; } } } int main() { int ans=0; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++){ scanf("%d",&a[i][j]); if(i==1||j==1) dp[i][j]=1,ans=1; } get_sum1(); get_sum2(); memset(dp,0,sizeof(dp)); for(int i=2;i<=n;i++){ for(int j=2;j<=m;j++){ if(a[i][j]==0) continue; int cnt=dp[i-1][j-1]; for(int k=1;k<=cnt+1;k++){ if(sum1[i][j]-sum1[i-k][j]==k){ if(sum2[i][j]-sum2[i][j-k]==k) dp[i][j]=k; } } ans=max(ans,dp[i][j]); } } cout<<ans<<endl; return 0; }
P1417烹调方案(泛化类型的背包)
题意：
一共有n件食材，每件食材有三个属性，ai，bi和ci，如果在t时刻完成第i样食材则得到ai-t*bi的美味指数，用第i件食材做饭要花去ci的时间，问在t秒内可以获得的最大美味指数是多少
思路：
这题是一道"泛化物品的背包"问题
也就是说，这种背包，没有固定的费用和价值。这时，将固定的价值换成函数的引用即可
现在考虑相邻的两个物品x,y。假设现在已经耗费p的时间，那么分别列出先做x,y的代价：
a[x]-(p+c[x])*b[x]+a[y]-(p+c[x]+c[y])*b[y] (①)
a[y]-(p+c[y])*b[y]+a[x]-(p+c[y]+c[x])*b[x] (②)
对这两个式子化简，得到①＞②的条件是c[x]*b[y]<c[y]*b[x].
发现只要满足这个条件的物品对(x,y)，x在y前的代价永远更优。
因此可以根据这个条件进行排序，之后就是简单的01背包了
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstdio> using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=1e5+10; ll dp[maxn]; struct node{ ll a,b,c; }x[maxn]; int cmp(node a,node b){return a.b*b.c>b.b*a.c;} int main() { ll t,n; scanf("%lld%lld",&t,&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&x[i].a); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&x[i].b); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&x[i].c); sort(x+1,x+1+n,cmp); ll ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=t;j>=x[i].c;j--) dp[j]=max(dp[j],dp[j-x[i].c]+x[i].a-j*x[i].b); } for(int i=1;i<=t;i++) ans=max(ans,dp[i]); cout<<ans<<endl; }
P1508 Likecloud-吃、吃、吃
思路：
水题，状态方程式f[i][j]=max(max(f[i-1][j],f[i-1][j-1]),f[i-1][j+1])+a[i][j]
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> #define inf 0x3f3f3f3f using namespace std; const int maxn=600; int dp[maxn][maxn],a[maxn][maxn]; int main() { int n,m; memset(a,-inf,sizeof(a)); scanf("%d%d",&n,&m); int y=m/2+1; for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) dp[i][j]=max(dp[i][j],max(dp[i-1][j-1],max(dp[i-1][j],dp[i-1][j+1])))+a[i][j]; cout<<max(max(dp[n][y],dp[n][y-1]),dp[n][y+1])<<endl; return 0; }
P1855 榨取kkksc03(多维01背包)
题意：
有n个任务，完成每个任务有对应的时间与花费，现在你有m元与时间t请问你最多能完成多少任务
思路：
多维01背包，滚动数组的状态转移式为：dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-a[i].x][k-a[i].y]+1)
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn=205; int dp[maxn][maxn]; struct node{ int x,y; }a[maxn]; int main() { int n,m,t; scanf("%d%d%d",&n,&m,&t); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&a[i].x,&a[i].y); int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=m;j>=a[i].x;j--){ for(int k=t;k>=a[i].y;k--){ dp[j][k]=max(dp[j][k],dp[j-a[i].x][k-a[i].y]+1); ans=max(dp[j][k],ans); } } } cout<<ans<<endl; return 0; }
P1736 创意吃鱼法
题意：
给一个01矩阵，问最大的只有对角线上为1的子矩阵边长是多少
思路：
定义dp[i][j]为点a[i][j]作为左下角或右下角的符合要求的子矩阵边长的最大值
假设x为a[i][j]上方连续0的个数，y为左方连续0的个数，z为右方连续0的个数
那么转移方程就为:
dp[i][j]=max(dp[i][j] , min( dp[i-1][j-1] , min(x,y) ) +1)
dp[i][j]=max(dp[i][j] , min( dp[i-1][j+1], min(x,z) ) +1)
#include<iostream> #include<algorithm> #include<cstring> #include<vector> #include<cstdio> #define inf 0x3f3f3f3f using namespace std; typedef long long ll; const int maxn=2510; int dp[maxn][maxn],a[maxn][maxn]; int main() { int n,m; scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]); int ans=0; for(int i=1;i<=n;i++){ for(int j=1;j<=m;j++){ if(a[i][j]==0) continue; int x=0,y=0,z=0; for(int k=i-1;k>0&&a[k][j]==0;k--,x++); for(int k=j-1;k>0&&a[i][k]==0;k--,y++); for(int k=j+1;k<=m&&a[i][k]==0;k++,z++); dp[i][j]=max(dp[i][j],min(dp[i-1][j-1],min(x,y))+1); dp[i][j]=max(dp[i][j],min(dp[i-1][j+1],min(x,z))+1); ans=max(ans,dp[i][j]); } } cout<<ans<<endl; return 0; }
