CCPC-wannafly Camp Day2 讲课内容总结（杜瑜皓-数据结构）
·栈、单调栈
1.栈的特点与基本操作
2.单调栈
单调栈是一种特殊的栈，其栈内的元素都保持一个单调性（单调递增或者递减）。
·单调递增栈,从栈底到栈顶依次递增（单调非递减栈:允许有相等）
·单调递减栈,从栈底到栈顶依次递减（单调非递增栈:允许有相等）
qes1.给一个序列，求对于每个数左边第一个比它大的数
做法：维护一个单调栈
①如果当前栈顶的元素比自己小，则将栈顶元素不断弹出，直到遇到第一个比自己大的元素，即为左边第一个比自己大的数
②如果一直弹出直到栈空了，则无法找到左边比自己大的元素
③将自己加入栈顶
更具体做法可参见：https://blog.csdn.net/Floraqiu/article/details/81947461
·笛卡尔树
qes1.求每段区间最小值的和
做法：笛卡尔树
一些性质：
①堆的性质，小根堆，两子的值大于等于父亲的值
②二叉搜索树性质，即左子树的点key(默认为下标)比根小，右子树的点key(默认为下标)比根大显然（增量法构造），按中序遍历这棵树，可得原序列
③询问下标i到下标j之间(i<j)的最小值，只需寻找[i,j]的lca
④修改只会在最右边的一条链上修改，左子树不会再修改。并且右边的链相当于一个栈，出栈的元素进入左子树
以某元素为最小值的区间长度为：（sizeL+1）*（sizeR+1）
参考链接：https://blog.csdn.net/Code92007/article/details/94591571
·队列、单调队列
qes1.求所有区间长度为k的区间的最大值
做法：单调队列（与单调栈类似）
①插入：若新元素从队尾插入后会破坏单调性，则删除队尾元素，直到插入后不再破坏单调性为止，再将其插入单调队列。
②获取最优（最大、最小）值：访问首尾元素
③队首元素超过其存活期则应该弹出
·STL
1.Vecotor，stack，queue
2.set，map，priority_queue
①set支持insert()，erase()操作
②upper_bound(),lower_bound()不可直接使用，要加上s.lower_bound()
③map<int，int> x 等价于 set<pair<int,int>>
3.multiset
①支持可重复元素
②erase()操作删除所有相同的元素
③ 对于序列[1，1，2，3，4，4，5] ：lower_bound()找到第一个4，upper_bound()找到第二个4
④对于③中的序列要想只删除多个4中的一个：s.earse(lower_bound(4))
4.unordered_map,unordered_set
①无法使用upper_bound()与lower_bound()
②可在o(1)复杂度内询问元素是否在集合内（本质为哈希表）
qes1.维护一个几个集合，支持插入一个数，删除一个数，求所有数从小到大排序之后的异或和
做法：先将所有元素排序，之后将两两相邻的元素的异或关系加入集合中
删除：将被与删除元素与其相连的两个元素之间的关系删除，再加入与其相连的两个元素新形成的关系
插入：用lower_bound()找到元素对应位置，删除原先的关系，加入新的关系
·树上倍增
qes1.求一个点往上第K个祖先
做法：树上倍增
定义数组fa[i][j]表示i节点的第2^j个父亲是谁。
然后，我们会发现有这么一个性质：
fa[i][j]=fa[fa[i][j-1]][j-1]
用文字叙述为：i的第2^j个父亲 是i的第2^(j-1)个父亲的第2^(j-1)个父亲
例.假设求u的第11个父亲：
①将11转化为二进制1011
②u->f(u,3)->f(u,1)->f(u,0)
qes2.求LCA
①如果两点高度(即深度)相同
for k = log(n) to 0
if f(u,k)=f(v,k)
continue
else
u=f(u,k)
v=f(v,k)
②如果两点高度不相同，先将低的点跳到与高的点深度相同
qes3.求两点之间路径的最大值
思路：倍增的同时记录下g(u,j)=max(g(u,j-1),g((f(u,j-1),j-1))
qes4.有若干个操作，每次将一条路径上的边全部加上一个值，操作完之后求每条边的权值
与qes3类似，所有可以合并的信息都能用点三的信息求出
·ST表
1.RMQ
一个高效的用于查询区间最大/最小值的方法，其需要O(nlogn))的时间复杂度进行预处理，之后对于每次的区间查询的复杂度为O(1)。
预处理
设mn[i][j]表示从第i位开始连续2^j个数中的最小值。例如mn[2][1]为第2位数开始连续2个的数的最小值，即3, 6之间的最小值，即mn[2][1] = 3;
之后我们很容想到递推方程：
mn[i][j] = min(mn[i][j - 1], mn[i + (1 << j - 1)][j - 1])
查询
假设我们需要查询区间[l, r]中的最小值，令k = log2(r - l + 1); 则区间[l, r]的最小值RMQ[l,r] = min(mn[l][k], mn[r - (1 << k) + 1][k]);
2.RMQ求LCA
①概念
时间戳 - 该结点dfs首次遍历到的序号，用记录。
欧拉序 - dfs遍历节点，节点的编号形成的序列，用记录。（包括回溯）
②在欧拉序上进行RMQ：
LCA在
①先将所有集合内部排序
②每次暴力合并把小集合的合并到大的里
看起来很暴力的一个做法，但是时间复杂度只有(nlogn)
伪代码：
merge(a,b)
size(a)>size(b) //交换两个集合a.swap(b)
for x ：b
a.insert(b)
qes2.求出每个子树的众数
做法：DSU On Tree(树上启发式合并),dfs到某一个点，将其子树的所有点合并，求集合中的众数
子树问题：一个元素都是单独的一个集合
伪代码：
dfs(u)
Sa={Bu}
for v:son[u]
dfs(v)
su=Sa U Sv
·Segement beats(吉如一线段树)
详细博客：https://oi-wiki.org/ds/seg-beats/#ctsn-loves-segment-tree
qes1.给一个序列，支持区间取min，然后询问区间max，区间和（HDU5306 Gorgeous Sequence）
做法：维护区间最大值Max，次大致Se，区间和Sum以及最大值个数Cnt，现在考虑如何对区间取min
①如果Max≤t ，显然这个t是没有意义的，直接返回
②如果 Se ＜ t ≤ Max 那么这个t就能更新当前区间中的最大值。于是我们让区间和加上 Cnt (t-Max)，然后更新 Max为t ，并打一个标记
③如果t ≤ Se，那么这时你发现你不知道有多少个数涉及到更新的问题。于是我们的策略就是，暴力递归向下操作。然后上传信息
以上就是讲了并且听懂了的内容哈哈哈，下面放上没讲或者没听懂的问题，以后来补哈哈哈
·线段树分治
qes1.动态图支持加边与删边操作，询问连通性，可以离线
·DFS序
qes1.每个点有f个值，每个点的g值为子树的f值之和。支持修改f值，询问子树g值的和
qes2.给你一颗树，边权可能是负数，要求查询u这个点到v这个子树里的最远点
·主席树
qes1.二位数点，强制在线
qes2.区间查询第K大
qes3.求树上两点之间的第K大
qes4.给你一序列a1，a2，...，an。给Q个询问，每次给出l，r，x求l，r之间与x异或之后最大的数
·CDQ分治
qes1.三维数点
qes2.一个图，对于所有i，j，k求出从i到j不经过k的最短路长度
