等值线的追踪算法--曲线光滑（3）

唉，我以前常常都在说，人是不可以闲下来的，闲下来就容易出事，这不，我一时想停下来，就在寝室里看

了两天的电影，唉，我啦...........

 

 这一次我要说的就是我前面想好要说的等值线的光滑，说到等值线的光滑，我就提一下大家，不知道大家还记不记得

在类库中有这样的两个函数，Graphics.DrawCurve 方法和Graphics.DrawBezier 方法，说到这两函数，那可能就

有人要说，光滑那还不简单，把点传进去不就好了，不错，这样也是一种方法，也达到了比较好的光滑有效果，我在

做这个光滑的时候，是先找到的我下面要讲的那种方法，后来才找到这两个函数，那时我可是大笑，可是笑过之后，

我还是不得不在这两种方法中做出选择，因为我们要选一个更加的适合我们项目的文法，于是也就有了我下面的这篇

文章，至于为什么，我下面在说。

 

等值线的光滑，可能有的比较的了解，她分为两类拟合曲线和逼近曲线，也就是过点型和不过点型，过点型有三次样条

和抛物线样条曲线，不过点的有B样条曲线，还有 Bezier曲线，当然还有好多，我也不是非常的了解，也象我前面说的，

只是做到了够我当前项目用的程度，要了解更深的就自己多查一下这方面的资料，还蛮多的，算法这个东西，

我也觉得有时候蛮讨厌的，常常都弄得人头疼，但做出来了又让人很高兴，我做项目最大的感受就是，一个项目比较难做的

就是构架和算法，而我在项目里面做的比较多的就是算法，弄得人头疼，当然我说的比较难做也只是说的是开发，至于一

个项目里面的什么销售呀什么的，我就没有什么了解了。

 

一种算法的形成都有都其存在的理由， 也并不是说这种就一定好，那种就一定不好，就象我用排序算法的时候就一直只用

插入排序一样，简单，速度也可以达到要求，我现在就说一种比较简单的过点型（拟合型）的光滑算法，抛物线样条算法，

为什么不用三次样条算法，因为三次样条算法有一个要求，就是每一个点都要有导数，这个可是一个比较苛刻的要求，大家

要知道，在光滑的时候如果是在B点这样的位置用三次样条算法就不好做了，也可能有人会说那我把X,Y轴对换不就好了吗？

                                                   

那我问大家你把轴对换就一定好了吗，你不信，就多想想，当然也不是说不可以，如果你硬是要那样做的话，你就不得不时时

去担心，我的这个点这里要不要将X换成Y，不过我有更好的办法。

 

抛物线样条就是我要说的一类好的方法，这里我也要感谢clever101，因为这个方法就是他做出来的，我只不过是拿他的讲讲

而已，抛物线拟合说到底就是三个三个点的拟合，具体的原文大家可以看一下这个：

http://blog.csdn.net/clever101/archive/2006/06/03/771160.aspx 

我也不多说了，但我还是将他copy到这里 ：

 

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假如我们采用矢量表达式来表示参数化的二次曲线，那么可以把抛物线的表达式写成如下的一般形式：

    P(t)=A₁+ A₂t+ A₃t²      (0=<t<=1)

 

   该抛物线过P₁, P₂, P₃三个点，并且：

1.       抛物线以P₁点为始点。当参变量t=0时，曲线过P₁点；

2.       抛物线以P₃点为终点。当参变量t=0时，曲线过P₃点；

3.       当参变量t=0.5时，曲线过P₂点,且切矢量等于P₃—P₁。

 

t=0: P(0)= A₁= P₁

t=1: P(1)= A₁ + A₂+ A₃=P₃

t=0.5:P(0.5)= A₁ + 0.5A₂+0.25 A₃=P₂

通过解联立方程，得到三个参数A₁ 、 A₂、 A₃分别为：

A₁ = P₁

A₂=4 P₂—P₃—3P₁

A₃=2P₁+2P₃—4P₂

 

把求出的这三个系数的值，代入抛物线的表达式P(t)=A₁+ A₂t+ A₃t²

得：P(t)=（2t—3t+1）P₁ +(4t—4t²)P₂+(4t²—t)P₃   (0=<t<=1)

 

    设有一离散型值点列P_i（i=1,2,……,n）,每经过相邻三点作一段抛物线，由于有n个型值点，所以可以做n-2条抛物线段。

    在这n—2条抛物线段中，第i条抛物线段为经过P_i, P_i+1, P_i+2三点，所以它的表达式应为：S_i(t_i)=（2t²_i—3t_i+1）P_i

+(4 t_i—4 t²_i) P_i+1 +(2t²_i—t_i) P_i+2     (0=< t_i <=1)

 

    同理，第i+1条抛物线段为经过P_i+1, P_i+2, P_i+3三点，所以它的表达式应为：S_i+1(t_i+1)=（2t²_i+1—3t_i+1+1）P_i+1

+(4 t_i+1—4 t²_i+1) P_i+2 +(2t²_i+1—t_i+1) P_i+3     (0=< t_i+1 <=1)

    一般来说，每两段曲线之间的搭接区间，两条抛物线是不可能重合的。如下图所示：

 

 显然，对于拟合曲线来说，整个型值点必须只能用一条光滑的曲线连接起来。为了做到这一点，必须找一种方法把S_i

和S_i+1 这样的曲线段的共同区间结合起来。这种方法就是加权合成方法。

    我们设共同区间的函数是P_i+1(t)=f (T ) S_i(t_i)+g ( T) S_i+1(t_i+1). 其中f (T ) 和 g ( T) 是权函数。在抛物样条

曲线中我们取简单的一次函数为权函数，且具有互补性，设

f (T ) =1—T

g ( T) =T

这样P_i+1(t)= (1—T ) S_i(t_i)+ T S_i+1(t_i+1).因为 函数中有T、t_i和t_i+1三个参数，因此接下来我们的工作是统一参数。

我们可以三个参变量统一形式为：

T=2t

t_i=0.5+t

t_i+1=t

 

这样

P_i+1(t)= （—2t³+4t²—t）P_i +(12t³—410t²+1) P_i+1 +(—12t³+8t²+t) P_i+2 +(4t³—2t²) P_i+3     (0=< t_i <=0.5)

 

    从几何意义上说，函数P_i+1(t)表示的上图的点P_i+1,到P_i+2 之间的线段。但是我们应该看到这种方法从n个点中只能得到

n—3段曲线。但是n个型值点应有n—1段曲线。一个直接的想法是添加两个辅助点。那么如何添加呢？

方法一：两个辅助点为P₀和P_n+1, P₀=P₁，P_n+1= P_n ,这样画出的曲线为一条不闭合的自由曲线。

方法二：添加三个辅助点，P₀、P_n+1和P_n+2，然后P₀=P_n，P_n+1= P_1, ，P_n+2= P₂,这样画出的曲线为一条闭合的曲线。

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这种方法比较好的解决了我的问题，这种方法一，它过点，过所有的观察点，二，也没有了什么X,Y轴对换的问题，三，相对简单，

不象别的程序算法都是一大堆一大堆的，现在我也没有发现它有什么问题，这也就回答了我为什么用这种方法了。顺便说一句，

这个也只是一个思路而已，大家要自己多想想，看有没有不适合自己的地方，自己修改吧，我开始的时候完完全全用的是他的

可是没有达到我的要求，我也是做了一些小改动的。

 

附图两张：

 

 

 附上示例程序：以后我会将我做的一整套等值线都上传的，这里也感谢clever101。

https://files.cnblogs.com/ouzi/等值线/ParspTest.rar