欧拉函数

欧拉函数φ(N)表示N 的欧拉函数：即小于N且与N互质数 的个数

1.对于素数p, φ(p)=p-1，对于对两个素数p,q φ（pq）=pq-1

2.对于一个正整数N的素数幂分解N=P1^q1*P2^q2*...*Pn^qn.

   φ(N)=N*(1-1/P1)*(1-1/P2)*...*(1-1/Pn).

3.除了N=2,φ(N)都是偶数.

4.设N为正整数,∑φ(d)=N (d|N).

 

第一种求法的时间复杂度是 O( N* sqrt(N)) .

//直接求解欧拉函数  
int euler(int n){ //返回euler(n)   
     int res=n,a=n;  
     for(int i=2;i*i<=a;i++){  
         if(a%i==0){  
             //res=res/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出   
             res -= res / i;
             while(a%i==0) a/=i;  
         }  
     }  
     if(a>1)  //res=res/a*(a-1);  
          res -= res /i;
     return res;  
}      

还有种方法是在求素数的时候，顺便把欧拉函数的值给求了

void Init(){     
     euler[1]=1;    
     for(int i=2;i<Max;i++)    
       euler[i]=i;    
     for(int i=2;i<Max;i++)    
        if(euler[i]==i)    
           for(int j=i;j<Max;j+=i)    
              //euler[j]=euler[j]/i*(i-1);//先进行除法是为了防止中间数据的溢出     
              euler[j] -= euler[j] / i;
}    

 

//欧拉筛法,快速筛出1-100万的欧拉函数值
void Eular()
{
    for(int i=1;i<=maxn;i++) phi[i]=i;
    memset(isPrime,true,sizeof(isPrime));
    isPrime[0]=isPrime[1]=false;
    phi[1]=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(isPrime[i])
        {
            for(int j=i;j<=maxn;j+=i)
            {
                isPrime[j]=false;
                phi[j] -= phi[j]/i;
            }
        }
    }
}