逆元+费马小定理+扩展欧几里得

逆元：（即是逆元素）逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素。

在一个代数系统（S，*）中，存在单位元素e，如果对S内的元素a存在a^-1 * a = e，则将 a^-1称为a 的左逆元。

同理若存在 a * a^-1 = e，则将a^-1 称为a 的右逆元。

这里的左逆元和右逆元是针对给定运算的某个元素而言的。我们说某个元素有没有逆元素，而不能说某个代数系统有没有逆元素。

另外还需要说明：

(1)一个元素可以没有左逆元和右逆元；

(2)一个元素可以只有左逆元；

(3)一个元素可以只有右逆元；

(4)一个元素可以既有左逆元，又有右逆元。

 

左右逆元素相等且唯一的条件是：

1)运算有单位元素；

2)元素a的左右逆元素都存在；

3)满足结合律。

通过以上分析，我们得出如下定理：

 

定理1　　 设

  

为S上可结合的二元运算，e为该运算的单位元，对于x∈S，如果存在左逆元 和右逆元  ，则有且y是x的唯一的逆元。

 

 

在求解 (a+b)%c, (a-b)%c, (a*b)%c 的时候，无论a,b,c多大，都可以转换成 a%c + b%c, a%c-b%c, a%c*b%c，然后直接进行运算。

但是在算 (a / b)%c 的时候，并不能直接转化成 a%c / (b%c)。

比如 5 / 2 % 3，在进行正常的运算时： 5/2 = 2 , 2%3 = 2，所以结果应该是 2

如果转化成 （5%3）/（2%3）= 2 / 2 = 1，所以结果变成了1。

 

费马小定理：

假如p 时一个质数，且gcd(p ,1) = 1，那么 a^(p-1) ≡ 1 (mod p)

a / b % c ≡ a * b^-1 % c ≡ a %c * b^-1 % c，其中 b^-1 为b 的逆元，当c是个素数，且b不是c的倍数的时候：

 

b ^(c - 1) ≡ 1 (mod c)，b * b^(c-2) ≡ 1 (mod c)，于是b 的逆元就是 b^(c-2) 。

当c比较大的时候，需要用快速幂。

 

扩展欧几里得：

给定模数m，求a的逆相当于求解a*x=1(mod m)
这个方程可以转化为a*x-m*y=1 
然后套用求二元一次方程的方法，用扩展欧几里得算法求得一组x0,y0和gcd 
检查gcd是否为1 
gcd不为1则说明逆元不存在 
若为1，则调整x0到0~m-1的范围中即可

LL inv(LL t, LL p) 
{ 
     if(t == 1)
         return 1;
     return (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}        

这是求t关于p 的逆元。