【高斯消元】[NOIP2004]虫食算(这是正解)
题目描述
所谓虫食算,就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了,需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子:
其中a代表被虫子啃掉的数字。
根据算式,我们很容易判断:第一行的两个数字分别是5和3,第二行的数字是5。
现在,我们对问题做两个限制:
首先,我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法,算式中三个数都有N位,允许有前导的0。
其次,虫子把所有的数都啃光了,我们只知道哪些数字是相同的,我们将相同的数字用相同的字母表示,不同的数字用不同的字母表示。
如果这个算式是N进制的,我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数字:但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。
输入数据保证N个字母分别至少出现一次。
上面的算式是一个4进制的算式。很显然,我们只要让ABCD分别代表0123,便可以让这个式子成立了。
你的任务是,对于给定的N进制加法算式,求出N个不同的字母分别代表的数字,使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。
输入
输入文件alpha.in包含4行。第一行有一个正整数N(N<=26),后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串,分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格,从高位到低位,并且恰好有N位。
输出
输出文件alpha.out包含一行。在这一行中,应当包含唯一的那组解。解是这样表示的:输出N个数字,分别表示A,B,C……所代表的数字,相邻的两个数字用一个空格隔开,不能有多余的空格。
样例输入
Copy (如果复制到控制台无换行,可以先粘贴到文本编辑器,再复制)
5
ABCED
BDACE
EBBAA
样例输出
1 0 3 4 2
【数据规模】
对于30%的数据,保证有N≤10;
对于50%的数据,保证有N≤15;
对于全部的数据,保证有N≤26
ps:再给你一组小数据,如果调不出来你可以手动跑一下
输入:
2
AB
AB
BA
输出:
0 1
分析:以个位为第一列,di表示第i列的进位情况,对于第i列,如果竖式是
那么显然有
去掉模运算得到
那就有
将常数项移到右边去
至此,方程列完了。
我们枚举di,进行求解。
显然
我们发现,我们改变的只有常数项,所以,我们只做一次高斯消元。通过这次高斯消元,我们显然可以求出未知数的系数,那对于常数项呢?
优化从这里开始
设第i个方程的化简后的常数项为
设高斯消元之后得到的未知数的系数为
那么,高斯消元后的矩阵就是这个样子的
我们再用一个数组
即
那么显然,初始时,
那高斯消元后,也就是这个样子
每次枚举出d数组的取值后,我们就可以用
你看懂了吗,我猜你没看懂,那看看我举的例子:
我们来分析一下样例:
5
ABCED
BDACE
EBBAA
那么,我们可以列出矩阵
高斯消元后矩阵变为
枚举dj,根据增广矩阵的右边算出常数项即可。
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 26
int n,equ,var,d[MAXN+10],x[MAXN+10];
typedef int matrix[MAXN+10][MAXN+10];
matrix a,g;
bool vis[MAXN+10];
char s[3][MAXN+10];
void Read(int &x){
char c;
while(c=getchar(),c!=EOF)
if(c>='0'&&c<='9'){
x=c-'0';
while(c=getchar(),c>='0')
x=x*10+c-'0';
ungetc(c,stdin);
return;
}
}
void read(){
Read(n);
scanf("%s%s%s",s[0],s[1],s[2]);
int i,j;
for(i=0;i<n;i++){
for(j=0;j<2;j++)
a[n-i][s[j][i]-'A'+1]++;
a[n-i][s[2][i]-'A'+1]--;
}
for(i=1;i<=n;i++)
g[i][i]=n,g[i][i-1]=-1;
g[1][0]=0;
equ=var=n;
}
int gcd(int a,int b){
int t;
while(b){
t=a%b;
a=b;
b=t;
}
return a;
}
void gauss_jordan(){
int i,j,row,col,mxr,lcm;
for(row=col=1;row<=equ&&col<=var;row++,col++){
mxr=row;
for(i=row+1;i<=equ;i++)
if(abs(a[i][col])>abs(a[mxr][col]))
mxr=i;
if(mxr!=row)
swap(a[row],a[mxr]),swap(g[row],g[mxr]);
if(!a[row][col]){
row--;
continue;
}
for(i=1;i<=equ;i++)
if(i!=row&&a[i][col]){
lcm=a[i][col]/gcd(a[i][col],a[row][col])*a[row][col];
int t1=lcm/a[i][col],t2=lcm/a[row][col];
for(j=1;j<=var;j++){
g[i][j]=t1*g[i][j]-t2*g[row][j];
a[i][j]=t1*a[i][j]-t2*a[row][j];
}
}
}
}
bool check(){
int i,j;
memset(vis,0,sizeof vis);
for(i=1;i<=n;i++){
x[i]=0;
for(j=1;j<=n;j++)
x[i]+=g[i][j]*d[j];
if(x[i]%a[i][i]||x[i]/a[i][i]<0||x[i]/a[i][i]>=n||vis[x[i]/a[i][i]])
return 0;
x[i]/=a[i][i];
vis[x[i]]=1;
}
return 1;
}
void print(){
for(int i=1;i<n;i++)
printf("%d ",x[i]);
printf("%d\n",x[n]);
}
void dfs(int i){
if(i==n){
if(check()){
print();
exit(0);
}
return;
}
d[i]=1;
dfs(i+1);
d[i]=0;
dfs(i+1);
}
int main()
{
read();
gauss_jordan();
dfs(1);
}
另有搜索算法,请见【搜索】[NOIP2004]虫食算