【高斯消元】[NOIP2004]虫食算(这是正解)

题目描述
所谓虫食算,就是原先的算式中有一部分被虫子啃掉了,需要我们根据剩下的数字来判定被啃掉的字母。来看一个简单的例子:

+43a9865a045008468a663344445506978

其中a代表被虫子啃掉的数字。

根据算式,我们很容易判断:第一行的两个数字分别是5和3,第二行的数字是5。

现在,我们对问题做两个限制:
首先,我们只考虑加法的虫食算。这里的加法是N进制加法,算式中三个数都有N位,允许有前导的0。
其次,虫子把所有的数都啃光了,我们只知道哪些数字是相同的,我们将相同的数字用相同的字母表示,不同的数字用不同的字母表示。
如果这个算式是N进制的,我们就取英文字母表午的前N个大写字母来表示这个算式中的0到N-1这N个不同的数字:但是这N个字母并不一定顺序地代表0到N-1)。

输入数据保证N个字母分别至少出现一次。    

+BADCCBDADCCC

上面的算式是一个4进制的算式。很显然,我们只要让ABCD分别代表0123,便可以让这个式子成立了。

你的任务是,对于给定的N进制加法算式,求出N个不同的字母分别代表的数字,使得该加法算式成立。输入数据保证有且仅有一组解。

输入
输入文件alpha.in包含4行。第一行有一个正整数N(N<=26),后面的3行每行有一个由大写字母组成的字符串,分别代表两个加数以及和。这3个字符串左右两端都没有空格,从高位到低位,并且恰好有N位。

输出
输出文件alpha.out包含一行。在这一行中,应当包含唯一的那组解。解是这样表示的:输出N个数字,分别表示A,B,C……所代表的数字,相邻的两个数字用一个空格隔开,不能有多余的空格。

样例输入
Copy (如果复制到控制台无换行,可以先粘贴到文本编辑器,再复制)

5
ABCED
BDACE
EBBAA
样例输出
1 0 3 4 2

【数据规模】

对于30%的数据,保证有N≤10;
对于50%的数据,保证有N≤15;
对于全部的数据,保证有N≤26

ps:再给你一组小数据,如果调不出来你可以手动跑一下
输入:
2
AB
AB
BA
输出:
0 1



分析:以个位为第一列,di表示第i列的进位情况,对于第i列,如果竖式是
+aibici

那么显然有
(ai+bi+di1)modn=ci

去掉模运算得到
ai+bi+di1=ci+kn
由于这是竖式加法,那么显然k就是di
那就有
ai+bi+di1=ci+ndi

将常数项移到右边去
ai+bici=ndidi1

至此,方程列完了。
我们枚举di,进行求解。
显然dn,d0都是0,所以,我们只需要枚举2n1次,高斯消元的时间复杂度是O(n3),所以总的时间复杂度是O(2n1n3),当然,这显然不够快,考虑优化。
我们发现,我们改变的只有常数项,所以,我们只做一次高斯消元。通过这次高斯消元,我们显然可以求出未知数的系数,那对于常数项呢?


优化从这里开始
设第i个方程的化简后的常数项为Ai
设高斯消元之后得到的未知数的系数为K
那么,高斯消元后的矩阵就是这个样子的
K10000K20000kn10000knA1A2An1An

我们再用一个数组gi,j来保存第i个方程的化简后的常数项和dj的关系
Ai=j=1ngi,j

那么显然,初始时,gi,j=5,gi,i1=1;
那高斯消元后,也就是这个样子
K10000K20000Kn10000Kng1,1g2,1gn1,1gn,1g1,2g2,2gn1,2gn,2g1,n1g2,n1gn1,n1gn,n1g1,ng2,ngn1,ngn,n

每次枚举出d数组的取值后,我们就可以用O(n2)的时间算出常数项Ai,总的时间复杂度变为O(2n1n2),但由于很多取值不用O(n2)的时间即可判定为不可行(看我的check()函数),所以时间时间会比较短。
你看懂了吗,我猜你没看懂,那看看我举的例子:
我们来分析一下样例:

5
ABCED
BDACE
EBBAA

那么,我们可以列出矩阵

11101001010110010010110015100005100005100005100005

高斯消元后矩阵变为
3000003000003000003000001331518016180150621333833181515161515005

枚举dj,根据增广矩阵的右边算出常数项即可。

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 26
int n,equ,var,d[MAXN+10],x[MAXN+10];
typedef int matrix[MAXN+10][MAXN+10];
matrix a,g;
bool vis[MAXN+10];
char s[3][MAXN+10];
void Read(int &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
void read(){
    Read(n);
    scanf("%s%s%s",s[0],s[1],s[2]);
    int i,j;
    for(i=0;i<n;i++){
        for(j=0;j<2;j++)
            a[n-i][s[j][i]-'A'+1]++;
        a[n-i][s[2][i]-'A'+1]--;
    }
    for(i=1;i<=n;i++)
        g[i][i]=n,g[i][i-1]=-1;
    g[1][0]=0;
    equ=var=n;
}
int gcd(int a,int b){
    int t;
    while(b){
        t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}
void gauss_jordan(){
    int i,j,row,col,mxr,lcm;
    for(row=col=1;row<=equ&&col<=var;row++,col++){
        mxr=row;
        for(i=row+1;i<=equ;i++)
            if(abs(a[i][col])>abs(a[mxr][col]))
                mxr=i;
        if(mxr!=row)
            swap(a[row],a[mxr]),swap(g[row],g[mxr]);
        if(!a[row][col]){
            row--;
            continue;
        }
        for(i=1;i<=equ;i++)
            if(i!=row&&a[i][col]){
                lcm=a[i][col]/gcd(a[i][col],a[row][col])*a[row][col];
                int t1=lcm/a[i][col],t2=lcm/a[row][col];
                for(j=1;j<=var;j++){
                    g[i][j]=t1*g[i][j]-t2*g[row][j];
                    a[i][j]=t1*a[i][j]-t2*a[row][j];
                }
            }
    }
}
bool check(){
    int i,j;
    memset(vis,0,sizeof vis);
    for(i=1;i<=n;i++){
        x[i]=0;
        for(j=1;j<=n;j++)
            x[i]+=g[i][j]*d[j];
        if(x[i]%a[i][i]||x[i]/a[i][i]<0||x[i]/a[i][i]>=n||vis[x[i]/a[i][i]])
            return 0;
        x[i]/=a[i][i];
        vis[x[i]]=1;
    }
    return 1;
}
void print(){
    for(int i=1;i<n;i++)
        printf("%d ",x[i]);
    printf("%d\n",x[n]);
}
void dfs(int i){
    if(i==n){
        if(check()){
            print();
            exit(0);
        }
        return;
    }
    d[i]=1;
    dfs(i+1);
    d[i]=0;
    dfs(i+1);
}
int main()
{
    read();
    gauss_jordan();
    dfs(1);
}

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posted @ 2016-01-30 17:01  outer_form  阅读(505)  评论(0编辑  收藏  举报