【高斯消元】【图论】[Wc2011][HYSBZ/BZOJ2155]Xor

题目大意

找1到n的路径中异或和最大的路径。

分析

首先，我们考虑这样一个问题：

先看另一道题

N个点M条边的边带权的无向图，求一个回路使XOR和最大(回路中的路径可以走多次)。

另一道题的分析

有这样一个结论（从这里到证明结束的所说回路只能走一次）

两个回路的和仍是回路(‘和’ 指 ‘异或和’/‘对称差’)
一个无向连通图G中有且仅有M-N+1个独立回路。

那什么是独立的回路呢，就是一个不能由其他的回路通过异或得到的回路。

对结论的证明：
M=N-1时，就是树，有0个回路，结论成立。
用数学归纳法进行证明
设M=K时结论成立，即有K-N+1个独立回路，当M=K+1时，设M=K时图为G，新加了一条边e，任取一个包含e的回路C，显然是一个独立的回路。
任意两个包含e的回路C1与C2，C1,2=C1^C2是G中的回路，C2=C1,2^C1，所以C2不是独立的回路，由此先可以证得其他包含e的回路也不是独立的回路，故能且仅能增加一个包含e的独立回路。
所以，每增加一条边，只增加一个回路。
从而G中恰有(K+1)-N+1个独立回路，证毕。
这些独立的回路互相异或，我们就可以得到任何一个回路的值(因为其他回路都可以由这些回路异或得到)。

所以，我们只需要找到所有的独立回路即可。
找的方法：

即随便生成一棵生成树，任选根，处理出每个节点到根的路径的异或和sumi。然后对于每一条非树边(u,v,wt)，我们可以通过sumu^sumv^wt来求出包含当前边的一个回路的异或和。

然后，我们就可以用【高斯消元】[SGU275]To xor or not to xor>那道题的做法来解决了。

如果两个回路不相交怎么办？没关系，我们将两个回路直接连接一条路径，也会得到一个回路，显然连接的这条路径会经过两次，对答案没有贡献

回到这道题

那和这道题有什么关系呢，我们在S和T直接连一条权值为0的边，显然我们就可以求经过这条边的回路的异或和(设为s0)的最大值即可。
所以，我们只需要保证包含这条边的独立回路一定被选择即可。
因为要所以，保证包含这条边的独立回路一定被选择，我们每次尝试使i方程的右边等于1^(S0的第i位即可)，
也只能用【高斯消元】[SGU275]To xor or not to xor>的第二种解法。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 50000
#define MAXM 100000
#define D 32
typedef long long LL;
typedef unsigned int uint;
int n,m,fa[MAXN+10],var,equ=60,c[MAXM+10];
uint a[60][MAXM/D+10];
LL sum[MAXN+10],b[MAXM+10],ans,cl;
struct node{
    int v;
    LL wt;
    bool f;
    node *next;
}*adj[MAXN+10],edge[MAXM*2+10],*ecnt=edge;
struct node2{
    int u,v;
    LL wt;
    bool f;
    node2(){
    }
    node2(int uu,int vv,LL wwt,bool ff){
        u=uu,v=vv,wt=wwt,f=ff;
    }
}ednm[MAXM+10];
template<class T>
void Read(T &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
void addedge(int u,int v,LL wt,bool f){
    node *p=++ecnt;
    p->wt=wt;
    p->v=v;
    p->f=f;
    p->next=adj[u];
    adj[u]=p;
}
int find(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x]=find(fa[x]);
}
void read(){
    Read(n),Read(m);
    int i,u,v;
    LL wt;
    for(i=1;i<=n;i++)
        fa[i]=i;
    for(i=1;i<=m;i++){
        Read(u),Read(v),Read(wt);
        if(find(u)!=find(v)){
            fa[fa[u]]=fa[v];
            addedge(u,v,wt,1);
            addedge(v,u,wt,1);
            ednm[i]=node2(u,v,wt,1);
        }
        else{
            addedge(u,v,wt,0);
            addedge(v,u,wt,0);
            ednm[i]=node2(u,v,wt,0);
        }
    }
}
void dfs(int u,int fa){
    for(node *p=adj[u];p;p=p->next)
        if(p->f&&p->v!=fa){
            sum[p->v]=sum[u]^p->wt;
            dfs(p->v,u);
        }
}
void prepare(){
    int i,j;
    for(i=1;i<=m;i++)
        if(!ednm[i].f)
            b[var++]=ednm[i].wt^sum[ednm[i].u]^sum[ednm[i].v];
    for(i=1;i<=equ;i++)
        for(j=0;j<var;j++)
            a[i][j/D]|=(b[j]>>(equ-i)&1)<<(j%D);
    cl=sum[n];
}
void gaussian_elimination(){
    int row,i,j,qv1=var/D,qv2=var%D;
    for(row=1;row<=equ;row++){
        a[row][qv1]|=(((cl>>(equ-row))&1)^1)<<qv2;
        for(i=0;i<var;i++)
            if(a[row][i/D]&(1<<(i%D))){
                if(c[i])
                    for(j=0;j<=qv1;j++)
                        a[row][j]^=a[c[i]][j];
                else{
                    c[i]=row;
                    break;
                }
            }
        ans<<=1;
        if(i==var&&a[row][qv1])
            a[row][qv1]=0;
        else
            ans|=1;
    }
}
int main()
{
    read();
    dfs(1,0);
    prepare();
    gaussian_elimination();
    printf("%lld",ans);
}