【快速傅里叶变换】[UOJ#34]多项式乘法

题目

这是一道模板题。

给你两个多项式，请输出乘起来后的多项式。

输入格式
第一行两个整数 nn 和 mm，分别表示两个多项式的次数。

第二行 n+1n+1 个整数，分别表示第一个多项式的 00 到 nn 次项前的系数。

第三行 m+1m+1 个整数，分别表示第一个多项式的 00 到 mm 次项前的系数。

输出格式
一行 n+m+1n+m+1 个整数，分别表示乘起来后的多项式的 00 到 n+mn+m 次项前的系数。

样例一
input

1 2
1 2
1 2 1

output

1 4 5 2

explanation

(1+2x)⋅(1+2x+x2)=1+4x+5x2+2x3。

限制与约定
0≤n,m≤1050≤n,m≤105，保证输入中的系数大于等于 00 且小于等于 99。

时间限制：1s1s
空间限制：256MB

分析

如题目，这道题就是快速傅里叶变换的模板题，我在此粘模板，感谢Quack_quack大神的讲解。

代码

递归版

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 300000
using namespace std;
int n,m,N;
struct cpx{
    double r,i;
    cpx(){}
    cpx(double rr,double ii){
        r=rr,i=ii;
    }
    inline cpx operator+(const cpx &x){
        return cpx(r+x.r,i+x.i);
    }
    inline cpx operator-(const cpx&x){
        return cpx(r-x.r,i-x.i);
    }
    inline cpx operator*(const cpx&x){
        return cpx(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);
    }
    inline void operator*=(const cpx&x){
        *this=*this*x;
    }
}a[MAXN+10],b[MAXN+10],c[MAXN+10],d[MAXN+10];
template<class T>
void Read(T &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
void read(){
    Read(n),Read(m);
    int i;
    for(i=0;i<=n;i++)
        Read(a[i].r);
    for(i=0;i<=m;i++)
        Read(b[i].r);
}
inline cpx cpx_pow(double n){
    return cpx(cos(n),sin(n));
}
void fft(cpx *in,cpx *out,int step,int size,int dir){
    if(size==1){
        out[0]=in[0];
        return;
    }
    fft(in,out,(step<<1),(size>>1),dir);
    fft(in+step,out+(size>>1),(step<<1),(size>>1),dir);
    int t=size>>1;
    cpx w(1,0),w1(cos(dir*2*M_PI/size),sin(dir*2*M_PI/size)),tt;
    for(int i=0;i<t;i++,w*=w1){
        cpx even=out[i],odd=out[i+(size>>1)];
        tt=w*odd;
        out[i]=even+tt;
        out[i+t]=even-tt;
    }
}
void solve(){
    int i,L=n+m+1;
    for(N=1;N<L;N<<=1);
    fft(a,c,1,N,1);
    fft(b,d,1,N,1);
    for(i=0;i<N;i++)
        c[i]*=d[i];
    fft(c,a,1,N,-1);
}
void print(){
    int i,t=n+m;
    for(i=0;i<=t;i++)
        printf("%d ",int((a[i].r/N)+0.1));
}
int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}

迭代版

一种蝴蝶操作

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 300000
using namespace std;
template<class T>
void Read(T &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
struct cpx{
    double r,i;
    cpx(){
    }
    cpx(double rr,double ii){
        r=rr,i=ii;
    }
    inline cpx operator+(const cpx &x)const{
        return cpx(r+x.r,i+x.i);
    }
    inline cpx operator-(const cpx &x)const{
        return cpx(r-x.r,i-x.i);
    }
    inline cpx operator*(const cpx &x)const{
        return cpx(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);
    }
    inline void operator*=(const cpx &x){
        *this=*this*x;
    }
}a[MAXN+10],b[MAXN+10];
int n,m,r[MAXN+10],Log,Len,N;
void read(){
    Read(n),Read(m);
    int i;
    for(i=0;i<=n;i++)
        Read(a[i].r);
    for(i=0;i<=m;i++)
        Read(b[i].r);
}
void fft(cpx *a,int f){
    int i,j,k;
    for(i=0;i<N;i++)
        if(i<r[i])
            swap(a[i],a[r[i]]);
    for(i=1;i<N;i<<=1){
        cpx wn(cos(M_PI/i),f*sin(M_PI/i));   //i是size/2，所以不用乘2
        int t=i<<1;
        for(j=0;j<N;j+=t){
            cpx w(1,0);
            for(k=0;k<i;k++,w*=wn){
                cpx x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=x+y,a[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
        for(i=0;i<N;i++)
            a[i].r/=N;
}
void solve(){
    int i;
    Len=n+m;
    for(N=1;N<=Len;N<<=1)
        Log++;
    for(i=0;i<N;i++)
        r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)<<(Log-1));
    fft(a,1);
    fft(b,1);
    for(i=0;i<N;i++)
        a[i]*=b[i];
    fft(a,-1);
}
void print(){
    int i;
    for(i=0;i<=Len;i++)
        printf("%d ",int(a[i].r+0.1));
}
int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}

另一种蝴蝶操作

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define MAXN 300000
using namespace std;
template<class T>
void Read(T &x){
    char c;
    while(c=getchar(),c!=EOF)
        if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            return;
        }
}
struct cpx{
    double r,i;
    cpx(){
    }
    cpx(double rr,double ii){
        r=rr,i=ii;
    }
    inline cpx operator+(const cpx &x)const{
        return cpx(r+x.r,i+x.i);
    }
    inline cpx operator-(const cpx &x)const{
        return cpx(r-x.r,i-x.i);
    }
    inline cpx operator*(const cpx &x)const{
        return cpx(r*x.r-i*x.i,r*x.i+i*x.r);
    }
    inline void operator*=(const cpx &x){
        *this=*this*x;
    }
}a[MAXN+10],b[MAXN+10];
int n,m,Len,N;
void read(){
    Read(n),Read(m);
    int i;
    for(i=0;i<=n;i++)
        Read(a[i].r);
    for(i=0;i<=m;i++)
        Read(b[i].r);
}
void fft(cpx *a,int f){
    int i,j,k;
    for(i=1,j=0;i<N-1;++i)
    {
        for(int d=N;j^=d>>=1,~j&d;);
        if(i<j)swap(a[i],a[j]);
    }
    for(i=1;i<N;i<<=1){
        cpx wn(cos(M_PI/i),f*sin(M_PI/i));   //i是size/2，所以不用乘2
        for(j=0;j<N;j+=i<<1){
            cpx w(1,0);
            for(k=0;k<i;k++,w*=wn){
                cpx x=a[j+k],y=w*a[j+k+i];
                a[j+k]=x+y,a[j+k+i]=x-y;
            }
        }
    }
    if(f==-1)
        for(i=0;i<N;i++)
            a[i].r/=N;
}
void solve(){
    int i;
    Len=n+m;
    for(N=1;N<=Len;N<<=1);
    fft(a,1);
    fft(b,1);
    for(i=0;i<N;i++)
        a[i]*=b[i];
    fft(a,-1);
}
void print(){
    for(int i=0;i<=Len;i++)
        printf("%d ",int(a[i].r+0.1));
}
int main()
{
    read();
    solve();
    print();
}