【二维线段树（二维区间GCD）】[NOI2012]魔幻棋盘

题目描述

分析

这是经典的区间gcd（最大公约数）问题。

差分GCD

g c d (a, b) g c d (a, b, c) = g c d (a, b - k a) = g c d (g c d (a, b), c) = g c d (g c d (a, b - a), c) = g c d (g c d (a, b - a), c - k (g c d (a, b - a))) = g c d (g c d (a, b - a), c - b)

所以区间

[l,r]的最大公约数等于其差分和第一个数的最大公约数，假设

a为原数组，

di=ai−ai−1，所以

g c d (a l, a l + 1, a l + 2, \dots, a r) = g c d (g c d (d l + 1, d l + 2, \dots, d r), a l)

一维区间GCD

维护区间信息首选线段树，但是区间gcd显然没有办法打懒标记，因为下传的时候显然不知道如何修改gcd信息，所以不能有区间修改。但是原数组的区间修改对应差分数组的单点修改，所以我们用一棵线段树维护差分数组区间gcd，然后再用一个数据结构（线段树、差分数组的树状数组……）维护原数组即可。

二维区间GCD

我们沿着一维区间gcd继续思考。
假设a,b,c,d的相对位置是acbd

g c d (a, b, c, d) = g c d (g c d (g c d (a, b), c), d) = g c d (g c d (g c d (a, b - a), c - a), d - k (g c d (g c d (a, b - a), c - a))) = g c d (g c d (g c d (a, b - a), c - a), d - b - c + a)

二维区间

gcd也满足差分的性质。
现在，我们有一个想法，是不是用二维线段树维护一个从左上角到右下角的差分数组

gcd就可以了呢？
我们仔细想一下这个应该怎么做。
每次，我们要求一个二维区间的gcd，假设下图是要求的区间。
这里写图片描述

显然，白色部分是原数组的一个元素的值，很好维护，红色部分是一个二维差分，每次单点修改即可，但是绿色部分是一个一维差分，要维护的话就必须区间修改（修改一个区间内的一维线段树）。显然，二维线段树不能区间修改，所以这样不可行。

我们发现，有一个点是固定的的，我们就可以这个点为中心维护差分数组。
这里写图片描述
我们只需要维护八棵独立的线段树（四棵二维，四棵一维）就可以做到每次修改都是单点修改了。

代码

略长

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#define MAXN 500000
using namespace std;
typedef long long LL;
int n,m,x,y,T;
LL a[MAXN+10];
inline int Get_id(int i,int j){
    return (i-1)*m+j;
}
template<class T>
void Read(T &x){
    static char c;
    bool f(0);
    while(c=getchar(),c!=EOF){
        if(c=='-')
            f=1;
        else if(c>='0'&&c<='9'){
            x=c-'0';
            while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
                x=x*10+c-'0';
            ungetc(c,stdin);
            if(f)
                x=-x;
            return;
        }
    }
}
LL gcd(LL a,LL b){
    LL t;
    while(b){
        t=a%b;
        a=b;
        b=t;
    }
    return a;
}
namespace SegmentTree1D{
struct node{
    LL d;
    node *ch[2];
}tree[MAXN*20+10],*tcnt=tree,*root[4];
inline void update(node *p){
    p->d=gcd(p->ch[0]->d,p->ch[1]->d);
}
void build(node *&p,int l,int r,int x){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        p->d=a[Get_id(x,l)];
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build(p->ch[0],l,mid,x);
    build(p->ch[1],mid+1,r,x);
    update(p);
}
void build_col(node *&p,int l,int r){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        p->d=a[Get_id(l,y)];
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build_col(p->ch[0],l,mid);
    build_col(p->ch[1],mid+1,r);
    update(p);
}
void build_notleaf(node *&p,node *x,node *y,int l,int r){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        p->d=gcd(x->d,y->d);
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build_notleaf(p->ch[0],x->ch[0],y->ch[0],l,mid);
    build_notleaf(p->ch[1],x->ch[1],y->ch[1],mid+1,r);
    update(p);
}
void insert(node *p,int l,int r,int pos,LL d){
    if(l==r){
        p->d+=d;
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    if(pos<=mid)
        insert(p->ch[0],l,mid,pos,d);
    else
        insert(p->ch[1],mid+1,r,pos,d);
    update(p);
}
void insert_notleaf(node *p,int l,int r,int pos,LL val){
    if(l==r){
        p->d=val;
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    if(pos<=mid)
        insert_notleaf(p->ch[0],l,mid,pos,val);
    else
        insert_notleaf(p->ch[1],mid+1,r,pos,val);
    update(p);
}
LL get_gcd(node *p,int l,int r,int ll,int rr){
    if(ll<=l&&r<=rr)
        return p->d;
    if(ll>r||rr<l)
        return 0;
    int mid((l+r)>>1);
    return gcd(get_gcd(p->ch[0],l,mid,ll,rr),get_gcd(p->ch[1],mid+1,r,ll,rr));
}
}
namespace SegmentTree2D{
using namespace SegmentTree1D;
struct node{
    SegmentTree1D::node *root;
    node *ch[2];
}tree[MAXN*4+10],*tcnt=tree,*root[4];
inline void update(node *p,int al,int ar,int pos){
    insert_notleaf(p->root,al,ar,pos,gcd(get_gcd(p->ch[0]->root,al,ar,pos,pos),get_gcd(p->ch[1]->root,al,ar,pos,pos)));
}
inline void build_merge(node *p,int al,int ar){
    build_notleaf(p->root,p->ch[0]->root,p->ch[1]->root,al,ar);
}
void build(node *&p,int l,int r,int al,int ar){
    p=++tcnt;
    if(l==r){
        build(p->root,al,ar,l);
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    build(p->ch[0],l,mid,al,ar);
    build(p->ch[1],mid+1,r,al,ar);
    build_merge(p,al,ar);
}
void insert(node *p,int l,int r,int al,int ar,int x,int y,LL d){
    if(l==r){
        insert(p->root,al,ar,y,d);
        return;
    }
    int mid((l+r)>>1);
    if(x<=mid)
        insert(p->ch[0],l,mid,al,ar,x,y,d);
    else
        insert(p->ch[1],mid+1,r,al,ar,x,y,d);
    update(p,al,ar,y);
}
LL get_gcd(node *p,int l,int r,int al,int ar,int lx,int rx,int ly,int ry){
    if(lx<=l&&r<=rx)
        return get_gcd(p->root,al,ar,ly,ry);
    if(lx>r||rx<l)
        return 0;
    int mid((l+r)>>1);
    return gcd(get_gcd(p->ch[0],l,mid,al,ar,lx,rx,ly,ry),get_gcd(p->ch[1],mid+1,r,al,ar,lx,rx,ly,ry));
}
}
void read(){
    Read(n),Read(m),Read(x),Read(y),Read(T);
    int i,t=n*m,j;
    for(i=1;i<=t;i++)
        Read(a[i]);
    //左
    if(y>1){
        for(j=1;j<y-1;j++)
            a[Get_id(x,j)]-=a[Get_id(x,j+1)];
        SegmentTree1D::build(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,x);
    }
    //右
    if(y<m){
        for(j=m;j>y+1;j--)
            a[Get_id(x,j)]-=a[Get_id(x,j-1)];
        SegmentTree1D::build(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,x);
    }
    //上
    if(x>1){
        for(i=1;i<x-1;i++)
            a[Get_id(i,y)]-=a[Get_id(i+1,y)];
        SegmentTree1D::build_col(SegmentTree1D::root[2],1,x-1);
    }
    //下
    if(x<n){
        for(i=n;i>x+1;i--)
            a[Get_id(i,y)]-=a[Get_id(i-1,y)];   
        SegmentTree1D::build_col(SegmentTree1D::root[3],x+1,n);
    }
    //左上
    if(x>1&&y>1){
        for(i=1;i<x-1;i++){
            for(j=1;j<y-1;j++)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i+1,j)]+a[Get_id(i,j+1)]-a[Get_id(i+1,j+1)];
            a[Get_id(i,y-1)]-=a[Get_id(i+1,y-1)];
        }
        for(j=1;j<y-1;j++)
            a[Get_id(x-1,j)]-=a[Get_id(x-1,j+1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1);
    }
    //右上
    if(x>1&&y<m){
        for(i=1;i<x-1;i++){
            for(j=m;j>y+1;j--)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i+1,j)]+a[Get_id(i,j-1)]-a[Get_id(i+1,j-1)];
            a[Get_id(i,y+1)]-=a[Get_id(i+1,y+1)];
        }
        for(j=m;j>y+1;j--)
            a[Get_id(x-1,j)]-=a[Get_id(x-1,j-1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m);
    }
    //左下
    if(x<n&&y>1){
        for(i=n;i>x+1;i--){
            for(j=1;j<y-1;j++)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i-1,j)]+a[Get_id(i,j+1)]-a[Get_id(i-1,j+1)];
            a[Get_id(i,y-1)]-=a[Get_id(i-1,y-1)];
        }
        for(j=1;j<y-1;j++)
            a[Get_id(x+1,j)]-=a[Get_id(x+1,j+1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1);
    }
    //右下
    if(x<n&&y<m){
        for(i=n;i>x+1;i--){
            for(j=m;j>y+1;j--)
                a[Get_id(i,j)]-=a[Get_id(i-1,j)]+a[Get_id(i,j-1)]-a[Get_id(i-1,j-1)];
            a[Get_id(i,y+1)]-=a[Get_id(i-1,y+1)];
        }
        for(j=m;j>y+1;j--)
            a[Get_id(x+1,j)]-=a[Get_id(x+1,j-1)];
        SegmentTree2D::build(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m);
    }
}
void solve(){
    int p,x1,y1,x2,y2,tx1,ty1,tx2,ty2;
    LL ans,d;
    while(T--){
        Read(p),Read(x1),Read(y1),Read(x2),Read(y2);
        if(p){
            Read(d);
            if(x1<=x&&x2>=x&&y1<=y&&y2>=y)
                a[Get_id(x,y)]+=d;
            //左上
            if(x1<x&&y1<y){
                tx2=min(x-1,x2),ty2=min(y-1,y2);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,tx2,ty2,d);
                if(x1>1&&y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,x1-1,y1-1,d);
                if(x1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,x1-1,ty2,-d);
                if(y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,tx2,y1-1,-d);
            }
            //右上
            if(x1<x&&y2>y){
                tx2=min(x-1,x2),ty1=max(y+1,y1);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,tx2,ty1,d);
                if(x1>1&&y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,x1-1,y2+1,d);
                if(x1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,x1-1,ty1,-d);
                if(y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,tx2,y2+1,-d);
            }
            //左下
            if(x2>x&&y1<y){
                tx1=max(x1,x+1),ty2=min(y-1,y2);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,tx1,ty2,d);
                if(x2<n&&y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,x2+1,y1-1,d);
                if(x2<n)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,x2+1,ty2,-d);
                if(y1>1)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,tx1,y1-1,-d);
            }
            //右下
            if(x2>x&&y2>y){
                tx1=max(x1,x+1),ty1=max(y1,y+1);
                SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,tx1,ty1,d);
                if(x2<n&&y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,x2+1,y2+1,d);
                if(x2<n)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,x2+1,ty1,-d);
                if(y2<m)
                    SegmentTree2D::insert(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,tx1,y2+1,-d);
            }
            if(x1<=x&&x2>=x){
                //左
                if(y1<y){
                    ty2=min(y2,y-1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,ty2,d);
                    if(y1>1)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,y1-1,-d);
                }
                //右
                if(y2>y){
                    ty1=max(y1,y+1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,ty1,d);
                    if(y2<m)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,y2+1,-d);
                }
            }
            if(y1<=y&&y2>=y){
                //上
                if(x1<x){
                    tx2=min(x2,x-1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[2],1,x-1,tx2,d);
                    if(x1>1)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[2],1,x-1,x1-1,-d);
                }
                //下
                if(x2>x){
                    tx1=max(x+1,x1);
                    SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[3],x+1,n,tx1,d);
                    if(x2<n)
                        SegmentTree1D::insert(SegmentTree1D::root[3],x+1,n,x2+1,-d);
                }
            }
        }
        else{
            ans=a[Get_id(x,y)];
            if(x>1&&y>1)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[0],1,x-1,1,y-1,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(x>1&&y<m)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[1],1,x-1,y+1,m,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(x<n&&y>1)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[2],x+1,n,1,y-1,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(x<n&&y<m)
                ans=gcd(SegmentTree2D::get_gcd(SegmentTree2D::root[3],x+1,n,y+1,m,x-x1,x+x2,y-y1,y+y2),ans);
            if(y>1)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[0],1,y-1,y-y1,y+y2),ans);
            if(y<m)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[1],y+1,m,y-y1,y+y2),ans);
            if(x>1)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[2],1,x-1,x-x1,x+x2),ans);
            if(x<n)
                ans=gcd(SegmentTree1D::get_gcd(SegmentTree1D::root[3],x+1,n,x-x1,x+x2),ans);
            printf("%lld\n",abs(ans));
        }
    }
}
int main()
{
    read();
    solve();
}

posted @ 2016-07-09 13:35 outer_form 阅读(366) 评论(0) 编辑收藏举报

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【二维线段树（二维区间GCD）】[NOI2012]魔幻棋盘

题目描述

分析

差分GCD

一维区间GCD

二维区间GCD

代码

公告