【线段树分治】[BZOJ4311]向量
题目描述
Description
你要维护一个向量集合，支持以下操作：
1.插入一个向量(x,y)
2.删除插入的第i个向量
3.查询当前集合与(x,y)点积的最大值是多少。如果当前是空集输出0
Input
第一行输入一个整数n，表示操作个数
接下来n行，每行先是一个整数t表示类型，如果t=1，输入向量
(x,y)；如果t=2，输入id表示删除第id个向量；否则输入(x,y)，查询
与向量(x,y)点积最大值是多少。
保证一个向量只会被删除一次，不会删没有插入过的向量
Output
对于每条t=3的询问，输出一个答案
Sample Input
5
1 3 3
1 1 4
3 3 3
2 1
3 3 3
Sample Output
18
15
15
HINT
n<=200000 1<=x,y<=10^6
Source
NOI2015 模拟题by 杨定澄分析
所有向量都在第一象限，根据点积的定义，我们作询问向量
可以发现，这样的点一定在原集合点集的上凸包上，我们只要建出凸包，在凸包上二分（或三分）就可以找到那个点。。
如果没有删除操作，我们可以用CDQ分治来做这道题。
但是有了删除操作，一个向量只能在一段询问区间内生效，我们可以用线段树分治来做。
我们对询问建立线段树，然后把每一个向量插入到对应的询问区间，然后对每个节点建立凸包。
每次询问，对对应节点到根路径上的所有节点都进行一次查询即可得到答案。时间复杂度
我们可以将向量排序后插入，在求凸包的时候就不用再排序了。把所有询问按照极角排序后，发现决策点单调，那极角排序后再将询问插入线段树即可。我们遍历一遍线段树，同时进行归并排序，然后处理这个节点的向量对这个节点包含的询问的贡献，可以节省一些空间。时间复杂度
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define MAXN 200000
using namespace std;
void Read(int &x){
static char c;
while(c=getchar(),c!=EOF)
if(c>='0'&&c<='9'){
x=c-'0';
while(c=getchar(),c>='0'&&c<='9')
x=x*10+c-'0';
ungetc(c,stdin);
return;
}
}
int n,ocnt,qcnt,bk,tmp[MAXN+10],tmp2[MAXN+10];
long long ans[MAXN+10];
struct point{
int x,y;
inline point(){
}
inline point(int x,int y):x(x),y(y){
}
inline point operator-(const point &b)const{
return point(x-b.x,y-b.y);
}
bool operator<(const point &b)const{
if(x==b.x)
return y<b.y;
return x<b.x;
}
}Q[MAXN+10],*q[MAXN+10];
inline long long dot(const point &a,const point &b){
return 1ll*a.x*b.x+1ll*a.y*b.y;
}
inline long long cross(const point &a,const point &b){
return 1ll*a.x*b.y-1ll*a.y*b.x;
}
struct Ope{
point x;
int l,r;
inline bool operator<(const Ope &b)const{
return x<b.x;
}
}cg[MAXN+10];
struct node{
vector<point*>op;
}tree[MAXN*4+10];
void insert(int i,int l,int r,int ll,int rr,point *a){
if(ll<=l&&r<=rr){
tree[i].op.push_back(a);
return;
}
if(ll>r||rr<l)
return;
int mid((l+r)>>1);
insert(i<<1,l,mid,ll,rr,a);
insert((i<<1)|1,mid+1,r,ll,rr,a);
}
void read(){
Read(n);
int i,p,x,y;
for(i=1;i<=n;i++){
Read(p),Read(x);
if(p==1){
Read(y);
cg[++ocnt].x=point(x,y);
cg[ocnt].l=qcnt+1;
cg[ocnt].r=-1;
}
else if(p==2)
cg[x].r=qcnt;
else{
Read(y);
Q[++qcnt]=point(x,y);
}
}
sort(cg+1,cg+ocnt+1);
for(i=1;i<=ocnt;i++){
if(cg[i].r==-1)
cg[i].r=qcnt;
if(cg[i].l>cg[i].r)
continue;
insert(1,1,qcnt,cg[i].l,cg[i].r,&cg[i].x);
}
}
void Divide_Conqure(int i,int l,int r){
if(l==r){
tmp[l]=l;
for(vector<point*>::iterator j=tree[i].op.begin();j<tree[i].op.end();j++)
ans[l]=max(ans[l],dot(Q[l],**j));
return;
}
int mid((l+r)>>1),x,j,k;
Divide_Conqure(i<<1,l,mid);
Divide_Conqure((i<<1)|1,mid+1,r);
x=l,j=mid+1,k=l;
while(x<=mid||j<=r){
if(j>r||(x<=mid&&cross(Q[tmp[x]],Q[tmp[j]])<=0))
tmp2[k++]=tmp[x++];
else
tmp2[k++]=tmp[j++];
}
bk=0;
for(x=l;x<=r;x++)
tmp[x]=tmp2[x];
for(vector<point*>::iterator v=tree[i].op.begin();v<tree[i].op.end();v++){
while(bk>1&&cross(*q[bk]-*q[bk-1],**v-*q[bk-1])>=0)
bk--;
q[++bk]=*v;
}
if(bk){
for(x=l,j=1;x<=r;x++){
while(j<bk&&dot(Q[tmp[x]],*q[j+1])>dot(Q[tmp[x]],*q[j]))
j++;
ans[tmp[x]]=max(ans[tmp[x]],dot(Q[tmp[x]],*q[j]));
}
}
}
void print(){
int i;
for(i=1;i<=qcnt;i++)
printf("%lld\n",ans[i]);
}
int main()
{
read();
Divide_Conqure(1,1,qcnt);
print();
}
