KMP算法
kmp
概览
解决字符串匹配的问题,是一种模式匹配算法,可以在 O(n+m) 的时间复杂度内实现两个字符串的匹配。
模式匹配:给定一个主串,以及一个模式串,在主串中匹配是否存在模式串并返回具体的位置
暴力法
// s 为主串,t 为模式串
int searchSubStr(char* s, int m, char* t, int n) {
for (int i = 0; i < m - n; ++i) {
int k = i;
for (int j = 0; j < n; ++j) {
if (s[k] != s[j]) break;
++k;
}
// 模式匹配完成
if (k == n) return i;
}
return -1;
}
前缀表
前缀:包含首字符,不包含末尾字符的子串
后缀:不包含首字符,包含末尾字符的子串
示例:aabaaf
-
前缀:
-
后缀:
前缀表:最长相等的前后缀(都是从左向右看)
字符串 | 最长相等前后缀 |
---|---|
a | 0 |
aa | 1 |
aab | 0 |
aaba | 1 |
aabaa | 2 |
aabaaf | 0 |
![image-20220407172044384](https://s2.loli.net/2022/04/07/JY7FlSwR6LnsBbA.png)
当某一位不匹配时,查看前一位的前缀表值,以该值为下标,从该处继续开始匹配
例如:用aabaaf去匹配aabaabaaf
- 当匹配到 i=5 时出现了不相符。查看第对应 j=5 的前一个元素 j=4 的前缀值,为2。
- 保持主串 i=5 下标不变,子串从下标 j=2 处继续向后匹配。相当于将子串向右移动了(5-2)位
i = 5,j = 2 继续向后匹配
初始化next数组
vector<int>& getNext(string str)
{
int len = str.size();
vector<int>* next = new vector<int>();
next->resize(len);
for (int i = 1; i <= len; ++i) {
string subStr = str.substr(0, i);
for (int j = i - 1; j >= 1; --j) {
if (subStr.substr(0, j).compare(subStr.substr(i - j, j)) == 0) {
(*next)[i - 1] = j;
break;
}
}
}
return *next;
}
利用next数组查找
int findKMP(string src, string tar) {
vector<int> next = getNext(tar);
int len1 = src.size();
int len2 = tar.size();
int tar = 0; // 主串中将要匹配的位置
int pos = 0; // 模式串中将要匹配的位置
while (tar < len1) {
if (src[tar] == tar[pos]) { // 若相等,则各自下标右移
++tar;
++pos;
} else if (pos != 0) { // 若不等且pos≠0,则利用next数组,将pos退到指定位置
pos = next[pos - 1];
} else {
++tar; // 否则将主串下标右移
}
if (tar > len1 - len2 && pos == 0) break;
if (pos == len2) return tar - pos;
}
return -1;
}
next数组的求法
快速求next数组是KMP算法的精髓所在。核心思想是“P自己与自己做匹配”
- 定义:“k-前缀”为一个字符串的前k个字符;“k-后缀”为一个字符串的后k个字符。k必须小于字符串长度
- next[x]定义:p[0]~p[x]这一段字符串,使得k前缀等于k后缀的最大的k
- 这个定义中不自觉地包含了一个匹配——前缀和后缀相等。
- 可以利用已知的next[0],next[1],...next[x-1]来求next[x]。(前后缀进行匹配)
前缀串A和后缀串B已知。在求P[x]时,比较前缀串的后一个字符P[now],
- 如相等,则
P[x] = P[x-1] + 1
,前缀串A和后缀串B长度各自增加一; - 如不等,则应该将P[now]左移,缩短now,把它改小一点,然后再试试P[now]是否等于P[x]。
![preview](https://s2.loli.net/2022/04/08/rSVcb9oHzWkeKQA.png)
关于now应该缩小多少呢?
- 最终的目的是让前缀串A和后缀串B都尽可能的长,且前缀串A的下一个字符
P[now]==P[x]
- 即寻找A和B的最长k-前后缀串,使得A的k-前缀等于B的k-后缀的最大的k
- 因为前缀串A和后缀串B相同,可得:B的后缀等于A的后缀,B的前缀等于A的前缀
- 使得A的k-前缀等于B的k-后缀的最大的k,其实就是串A的最长公共前后缀的长度
next[now-1]
![image-20220408105809995](https://s2.loli.net/2022/04/08/CIf4tmxNVcdUpvi.png)
- 当P[now]与P[x]不相等的时候,我们需要缩小now——把now变成next[now-1],直到 P[now]==P[x] 为止。
- P[now]==P[x] 时,就可以直接向右扩展了,
next[x] = now + 1
。
vector<int> getNex(string str) {
vector<int> nex;
nex.push_back(0);
int x = 1; // next[0]必然是0,因此从next[1]开始求
int now = 0;
int len = str.size();
while (x < len) {
if (str[now] == str[x]) { // 如果p[now] == p[x],则都向右移动
now++;
x++;
nex.push_back(now);
} else if (now) {
now = nex[now - 1]; // 利用next[]数组缩小now,类似与kmp,自己和自己匹配
} else {
nex.push_back(0); // now已经为0,无法再缩,故next[x] = 0
x++;
}
}
return nex;
}
现在我着重讲解一下while循环所做的工作:
- 已知前一步计算时最大相同的前后缀长度为k(k>0),即P[0]···P[k-1];
- 此时比较第k项P[k]与P[q],如图1所示
- 如果P[K]等于P[q],那么很简单跳出while循环;
- 关键!关键如果不等呢???那么我们应该利用已经得到的next[0]···next[k-1]来求P[0]···P[k-1]这个子串中最大相同前后缀,可能有同学要问了——为什么要求P[0]···P[k-1]的最大相同前后缀呢???
- 原因在于P[k]已经和P[q]失配了,而且P[q-k] ··· P[q-1]又与P[0] ···P[k-1]相同,看来P[0]···P[k-1]这么长的子串是用不了了,那么我要找个同样也是P[0]打头、P[k-1]结尾的子串即P[0]···P[j-1](j==next[k-1]),看看它的下一项P[j]是否能和P[q]匹配。如图2所示
简化
void getNex(const char *s)
{
/*更新模式串s的nex数组*/
int len = strlen(s);
vector<int> nex(len);
//for循环,从第二个字符开始,依次计算每一个字符对应的next值
for (int x = 1, now = 0; x < len; ++x) {
//递归的求出P[0]···P[q]的最大的相同的前后缀长度k
while (now > 0 && s[now] != s[x]) now = nex[now - 1];
if (s[now] == s[x]) ++now; //如果相等,那么最大相同前后缀长度加1
nex[x] = now;
}
}
严蔚敏版
void getNex2(const char *s)
{
/*更新模式串s的nex数组*/
int len = strlen(s);
vector<int> nex(len);
for (int i = 2, j = 0; i < len; ++i) {
while (j > 0 && s[i - 1] != s[j]) j = nex[j];
j++;
nex[i] = j;
}
}
code
int search(string str, string goal) {
vector<int> nex(goal.size());
for (int now = 0, x = 1; x < goal.size(); ++x) {
while (now > 0 && goal[now] != goal[x]) now = nex[now - 1];
if (goal[now] == goal[x]) ++now;
nex[x] = now;
}
for (int now = 0, x = 1; x < str.size(); ++x) {
while (now > 0 && goal[now] != str[x]) now = nex[now - 1];
if (goal[now] == str[x]) ++now;
if (now == goal.size()) return x - now + 1;
}
return -1;
}
参考:
https://www.ruanx.net/kmp/
https://www.cnblogs.com/c-cloud/p/3224788.html