数据结构与算法分析（三）——二项队列
- 引论
左堆的合并，插入，删除最小的时间复杂度为O(logN)。二项队列就是为了对这些结果进一步提高的一种数据结构。利用二项队列，这三种操作的最坏时间复杂度为O(logN)，但是插入的平均时间复杂度为O(1)
- 二项队列
二项队列不是一棵树，它是一个森林，由一组堆序的树组成的深林，叫做二项队列。
二项队列有几个性质比较重要
（a） 每一颗树都是一个有约束的堆序树，叫做二项树
（b） 高度为k的第k个二项树Bk由一个根节点和B0, B1, .......B(k-1)构成
（c） 高度为k的二项树的结点个数为2^k
我们可以用二项树的结合表示任意大小的优先队列。例如，大小为13的优先队列就可以用B3，B2，B0来表示，二进制的表示为1101。对此，我深表怀疑二项队列是不是受二进制的启发而产生的。
- 二项队列的操作
查找最小项：只需要查找每个二项树的根节点就可以了，因此时间复杂度为O(logN)。
合并：通过把两个队列相加在一起完成。因为有O(logN)棵树，所以合并的时间复杂度也是O(logN)。
插入：插入也是一种合并，只不过是把插入的结点当做B0。虽然感觉插入的时间复杂度是O(logN)，但是实际是O(1)，因为有一定的概率是被插入的二项队列没有B0。
删除最小：在根结点找到最小值，然后把最小值所在的树单独拿出分列为二项队列，然后把这个新的二项队列与原二项队列进行合并。每一个过程的时间复杂度为O(logN)。故加起来的时间复杂度仍为O(logN)。
这些操作归根结底是合并Merge。
- 二项队列的代码实现
(1) 二项队列声明：
1 typedef struct BinNode *Position;
2 typedef struct BinNode *BinTree;
3 typedef struct Collection *BinQueue;
4 struct BinNode
5 {
6 ElementType Element;
7 Position LeftChild;
8 Position Sibling;
9 };
10 struct Collection
11 {
12 int CurrentSize;
13 BinTree TheTrees[MaxTree];
14 }
15
首先定义了树BinNode，然后定义了森林Collection。
下图是TheTrees，数组里装的是指向个个二项树的指针。以及二项队列在上面定义的结构里面的表示方式。可以看出，根节点仅指向一个有最多子树的子结点，由这个结点指向各个兄弟节点，所以访问必然是逐级访问。
(2)合并树：
合并树本质是指针的变动。当然要对两个二项树做好变换。
(3)合并两个优先队列（merge）：
1 BinQueue Merge(BinQueue H1, BinQueue H2) 2 { 3 BinTree T1, T2, Carry = NULL; 4 int i,j; 5 if(H1->CurrentSize+H2->CurrentSize>Capacity) 6 Error("Exceed the Capacity"); 7 H1->CurrentSize = H1->CurrentSize + H2->CurrentSize; //CurrentSize含义： 8 for(i=0,j=1;j<H1->CurrentSize;i++,j*=2) //j：用于中止循环条件 9 { 10 T1 = H1->TheTrees[i]; 11 T2 = H2->TheTrees[i]; 12 switch(!!T1+2*!!T2+4*!!Carry) 13 { 14 case 0: //No Trees 15 case 1: //Only H1 16 break; 17 case 2: 18 H1->TheTrees[i] = T2; 19 H2->TheTrees[i] = NULL; 20 break; 21 case 4: //Only Carry 22 H1->TheTrees[i] = Carry; 23 Carry = NULL; 24 break; 25 case 3: //T1,T2 26 Carry = CombineTree(T1,T2); 27 H1->TheTrees[i] = H2->TheTrees[i] = NULL; 28 break; 29 case 5: 30 Carry = CombineTree(T1,Carry); 31 H1->TheTrees[i] = NULL; 32 break; 33 case 6: 34 Carry = CombineTree(T2,Carry); 35 H2->TheTrees[i] = NULL; 36 break; 37 case 7: 38 H1->TheTrees[i] = Carry; 39 Carry = CombineTree(T1,T2); 40 H2->TheTrees[i] = NULL; 41 break; 42 } 43 } 44 return H1; 45 }
在这段程序中，switch语句的加法是很不错的。
还有一个问题就是：怎么控制需要几阶二项队列，这直接导致程序要循环几次的问题。这里把两个二项队列的大小相加，假设是12的话，那么应该是4阶，因为3阶的大小为1+2+4 = 9<12，故应该为四阶，这也是循环控制的方式。
1 for(i=0,j=1;j<H1->CurrentSize;i++,j*=2)
(4)删除最小值（DeleteMin）：
1 ElementType DeleteMin(BinQueue H) 2 { 3 int i,j; 4 int MinTree; 5 BinQueue DeleteQueue; 6 Position DeletedTree, OldRoot; 7 ElementType MinItem; 8 9 if(IsEmpty(H)) 10 { 11 Error("Empty BinQueue!!"); 12 return -Infinity; 13 } 14 //find the minmum 15 Min = Infinity; 16 for(i=0;i<MaxTree;i++) 17 { 18 if(H->TheTrees[i] && H->TheTrees[i]->Element<MinItem) 19 { 20 // Updata the minmun 21 MiniItem = H->TheTrees[i]->Element; 22 MinTree = i; 23 } 24 } 25 // have found the DeleteTree 26 DeleteTree = H->TheTrees[MinTree]; 27 OldRoot = DeleteTree; 28 DeleteTree = OldRoot->LeftChild; 29 free(OldRoot); 30 31 // form the DeleteQueue 32 DeletedQueue = Initialize(); 33 DeletedQueue->CurrentSize = (1<<MinTree) - 1; //左移Mintree位 34 35 for(j=MinTree-1;j>=0;j--) 36 { 37 DeletedQueue->TheTree[j] = DeletedTree; 38 DeletedTree = DeletedTree->Sibling; 39 DeletedQueue->TheTree[j]->Sibling = NULL; 40 } 41 H->TheTrees[MiniTree] = NULL; 42 H->CurrentSize -= DeletedQueue->CurrentSize+1; 43 44 Merge(H,DeletedQueue); 45 return MinItem; 46 47 }
转自：http://blog.csdn.net/changyuanchn/article/details/14648463
