贝塞尔函数
1、贝塞尔方程及解
v阶贝塞尔方程：
\[x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left(x^{2}-v^{2}\right) y=0
\]
半奇数阶（l+\(\frac{1}{2}\)）贝塞尔方程：
\[x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \frac{d y}{d x}+\left[x^{2}-\left(l+\frac{1}{2}\right)^{2}\right] y=0
\]
v阶贝塞尔方程的解：
- 第一类贝塞尔函数\(J_v(x)=J_n(x)\)
\[J_{\pm n}(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m}}{m ! \Gamma(\pm n+m+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2 m \pm n}
\]
注：2n不为整数时，n=v，\(J_v(x)\) 和 \(J_{-v}(x)\) 线性无关
- 第二类贝塞尔函数（诺伊曼函数）\(Y_v(x)=N_v(x)\)
\[Y_{v}(x)=\left\{\begin{array}{ll}
\frac{J_v(x) \cos v \pi-J_{-v}(x)}{\sin v \pi} & (v \neq n) \\
\lim _{v \rightarrow \infty} \frac{J_v(x) \cos v \pi-J_{-v}(x)}{\sin v \pi} & (v=n)
\end{array}\right.
\]
\(J_{v}(x)\)和\(Y_{v}(x)\)线性无关，则v阶贝塞尔方程的通解为：\(y=C_{1} J_{v}(x)+C_{2} Y_{v}(x)\)
- 第三类贝塞尔函数（汉克尔函数）\(H_v^{(1)}(x)\) 和 \(H_v^{(2)}(x)\)
\[\left\{\begin{aligned}H_v^{(1)}(x)=J_v(x)+iN_v(x)\\
H_v^{(2)}(x)=J_v(x)-iN_v(x)\end{aligned}\right.
\]
2、贝塞尔函数的母函数
贝塞尔函数的母函数：
\[e^{\frac{x}{2}\left(z-\frac{1}{z}\right)}=\sum_{n=-\infty}^{\infty} J_{n}(x) z^{n}
\]
贝塞尔函数的递推公式：
\[\begin{array}{l}
\frac{d}{d x}\left[x^{v} J_{v}(x)\right]=x^{v} J_{v-1}(x) \\\\
\frac{d}{d x}\left[x^{-v} J_{v}(x)\right]=-x^{-v} J_{v+1}(x) \\\\
v J_{v}(x)+x J_{v}^{\prime}(x)=x J_{v-1}(x) \\\\
-v J_{v}(x)+x J_{v}^{\prime}(x)=-x J_{v+1}(x) \\\\
J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x) \\\\
J_{v-1}(x)-J_{v-1}(x)=2 J_{v}^{\prime}(x)
\end{array}
\]
特例：\(J_0^{\prime}(x)=-J_1(x)\quad\left[x J_1(x)\right]^{\prime}=x J_0(x)\)
注：任意整数阶贝塞尔函数都可以用\(J_0(x)\)和\(J_1(x)\)表示
例题：求不定积分\(\int x J_{2}(x) d x\)
解：
\[J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x)\\\\\
\text{故}\quad J_{2}(x)=\frac{2}{x} J_{1}(x)-J_{0}(x) \\\\
x J_{2}(x)=2 J_{1}(x)-x J_{0}(x) \\\\
\int x J_{2}(x)=2 \int J_{1}(x) d x-\int x J_{0}(x) d x=-2 J_{0}(x)-x J_{1}(x)+C
\]
3、贝塞尔函数的性质
贝塞尔函数的性质：
1）有界性 :\(\left|J_n(x)\right|\leq+\infty\)
2）奇偶性：\(J_n(-x)=(-1)^nJ_n(x)\)
贝塞尔函数零点的性质：
1）有无穷多个对称分布的零点
2）\(J_n(x)\)和\(J_{n+1}(x)\)的零点相间分布
3）\(J_n(x)\)的零点趋于周期分布
半奇数阶贝塞尔函数的特例：
\[J_{\frac{1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}sinx\\\\
J_{\frac{-1}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}cosx
\]
例题：利用递推公式证明\(J_{\frac{3}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[\frac{1}{x}sinx-cosx\right]\)
解：
\[J_{v-1}(x)+J_{v+1}(x)=\frac{2 v}{x} J_{v}(x)\\\\
\text{取}v=\frac{1}{2}\text{得:}\quad J_{-\frac{1}{2}}(x)+J_{\frac{3}{2}}(x)=\frac{1}{x} J_{\frac{1}{2}}(x)\\\\
\text{故}\quad J_{\frac{3}{2}}(x)=\frac{1}{x} J_{\frac{1}{2}}(x)-J_{-\frac{1}{2}}(x)\\\\
\text{代入半奇数阶贝塞尔函数的值，得:}\\\\\quad J_{\frac{3}{2}}(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\left[\frac{1}{x}sinx-cosx\right]
\]
整理人：刘蓓
审核：辅助线数学公益平台
