无穷级数
1、伯努利多项式
n次伯努利多项式:
\[\begin{array}{l}
B_{n}(x)=\sum_{k=0}^{n}\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right) \varphi_{k} x^{n-k} \quad n=0,1,2, \ldots \\\\
\left(\begin{array}{l}
n \\
k
\end{array}\right)=\frac{P_{n}{ }^{k}}{k !}=\frac{n !}{k !(n-k) !}
\end{array}
\]
前3个伯努利多项式：
\[B_{0}(x)=1, \quad B_{1}(x)=x-\frac{1}{2}, \quad B_{2}(x)=x^{2}-x+\frac{1}{6}
\]
前4个伯努利数：
\[B_{1}=\frac{1}{6}, \quad B_{2}=\frac{1}{30},\quad B_{3}=\frac{1}{42}, \quad B_{4}=\frac{1}{30}
\]
2、欧勒多项式
n次欧勒多项式：
\[E_{n}(x)=\sum_{k=0}^{[n / 2]}(-1)^{k} \frac{E_{k}}{2^{2 k}}\left(\begin{array}{l}
n \\
2 k
\end{array}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-2 k}[n / 2] \text { 为不超过 } n / 2 \text { 的最大整数 }
\]
前3个欧勒多项式：
\[\begin{array}{l}
E_{0}(x)=1,\quad E_{1}(x)=x-\frac{1}{2}, \quad E_{2}(x)=x(x-1)
\end{array}
\]
前4个欧勒数：
\[E_{0}=1, \quad E_{1}=1,\quad E_{2}=5,\quad E_{3}=61
\]
例题：用级数解法在\(x0＝0\)的邻域内求解厄米方程\(y^{''}-2xy^{\prime}+\lambda y=0\quad (0)\)
解：\(p=-2x，q=\lambda\)在\(x0＝0\)邻域内解析，所以\(x0＝0\)是常点。
设形式解为
\[y(x)=\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}x^{k} \quad(1)
\]
对式（1）求导得：
\[y^{\prime}(x)=\sum_{k=1}^{\infty}kc_{k}x^{k-1} \quad(2)
\]
对式（2）求导得：
\[y^{''}(x)=\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)c_{k}x^{k-2} \quad(3)
\]
将\((1-3)\)代入\((0)\)式得：
\[\sum_{k=2}^{\infty}k(k-1)c_{k}x^{k-2} -2x\sum_{k=1}^{\infty}kc_{k}x^{k-1}+\lambda\sum_{k=0}^{\infty}c_{k}x^{k}=0
\]
化简：
\[\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)c_{k+2}x^{k} -\sum_{k=1}^{\infty}2kc_{k}x^{k}+\sum_{k=0}^{\infty}\lambda c_{k}x^{k}=0
\]
\[\sum_{k=0}^{\infty}(k+2)(k+1)c_{k+2}-\sum_{k=1}^{\infty}2kc_{k}+\sum_{k=0}^{\infty}\lambda c_{k}=0\quad(4)
\]
显然，式（4）对应x的各次幂的系数应为零，即
\[2c_{2}+\lambda c_{0}+\sum_{k=1}^{\infty}[(k+2)(k+1)c_{k+2}+(\lambda -2k)c_{k}]=0
\]
所以
\[c_{k+2}=\frac{2k-\lambda}{(k+2)(k+1)}c_{k}
\]
由此，所有偶次幂系数都可以用\(c_{0}\)表示，所有奇次幂系数都可以用\(c_{1}\)表示，故有
| --------------------- 偶 --------------------- | --------------------- 奇 --------------------- |
|---|---|
| \(c_{2}=\frac{-\lambda}{2}c_{0}\) | \(c_{3}=\frac{2*1-\lambda}{3*2}c_{1}\) |
| \(c_{4}=\frac{2*2-\lambda}{4*3}c_{2}=\frac{2*2-\lambda}{4*3}\frac{-\lambda}{2}c_{0}=\frac{(-\lambda)(2*2-\lambda)}{4!}c_{0}\) | \(c_{5}=\frac{2*3-\lambda}{5*4}c_{3}=\frac{2*3-\lambda}{5*4}\frac{2*1-\lambda}{3*2}c_{1}=\frac{(2*1-\lambda)(2*3-\lambda)}{5!}c_{1}\) |
| ... | ... |
\(y(x)=c_{0}y_{0}(x)+c_{1}y_{1}(x)\)
其中\(y_{0}(x)=1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{2k!}(-\lambda)(2*2-\lambda)...(2*2k-\lambda)x^{2k}\)
\(y_{1}(x)=x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{(2k+1)!}(2*1-\lambda)(2*3-\lambda)...[2(2k-1)-\lambda]x^{2k+1}\)
整理人：刘蓓、谭天懿
审核：辅助线数学公益平台
