神经网络优化篇：详解Softmax 回归（Softmax regression）

Softmax 回归

有一种logistic回归的一般形式，叫做Softmax回归，能让在试图识别某一分类时做出预测，或者说是多种分类中的一个，不只是识别两个分类，来一起看一下。

假设不单需要识别猫，而是想识别猫，狗和小鸡，把猫加做类1，狗为类2，小鸡是类3，如果不属于以上任何一类，就分到“其它”或者说“以上均不符合”这一类，把它叫做类0。这里显示的图片及其对应的分类就是一个例子，这幅图片上是一只小鸡，所以是类3，猫是类1，狗是类2，猜这是一只考拉，所以以上均不符合，那就是类0，下一个类3，以此类推。将会用符号表示，会用大写的$C$来表示的输入会被分入的类别总个数，在这个例子中，有4种可能的类别，包括“其它”或“以上均不符合”这一类。当有4个分类时，指示类别的数字，就是从0到$C-1$，换句话说就是0、1、2、3。

在这个例子中，将建立一个神经网络，其输出层有4个，或者说$C$个输出单元，因此$n$，即输出层也就是$L$层的单元数量，等于4，或者一般而言等于$C$。想要输出层单元的数字告诉这4种类型中每个的概率有多大，所以这里的第一个节点(最后输出的第1个方格+圆圈)输出的应该是或者说希望它输出“其它”类的概率。在输入$X$的情况下，这个(最后输出的第2个方格+圆圈)会输出猫的概率。在输入$X$的情况下，这个会输出狗的概率(最后输出的第3个方格+圆圈)。在输入$X$的情况下，输出小鸡的概率（最后输出的第4个方格+圆圈），把小鸡缩写为bc（baby chick）。因此这里的$\hat y$将是一个$4×1$维向量，因为它必须输出四个数字，给这四种概率，因为它们加起来应该等于1，输出中的四个数字加起来应该等于1。

让的网络做到这一点的标准模型要用到Softmax层，以及输出层来生成输出，让把式子写下来，然后回过头来，就会对Softmax的作用有一点感觉了。

在神经网络的最后一层，将会像往常一样计算各层的线性部分，$z^{[l]}$这是最后一层的$z$变量，记住这是大写$L$层，和往常一样，计算方法是$z^{[l]} = W^{[l]}a^{[L-1]} + b^{[l]}$，算出了$z$之后，需要应用Softmax激活函数，这个激活函数对于Softmax层而言有些不同，它的作用是这样的。首先，要计算一个临时变量，把它叫做t，它等于$e^{z^{[l]}}$，这适用于每个元素，而这里的$z^{[l]}$，在的例子中，$z^{[l]}$是4×1的，四维向量$t=e^{z^{[l]}}$，这是对所有元素求幂，$t$也是一个4×1维向量，然后输出的$a^{[l]}$，基本上就是向量$t$，但是会归一化，使和为1。因此$a^{[l]} = \frac{e^{z^{[l]}}}{\sum_{j =1}^{4}t_{i}}$，换句话说，$a^{[l]}$也是一个4×1维向量，而这个四维向量的第$i$个元素，把它写下来，$a_{i}^{[l]} = \frac{t_{i}}{\sum_{j =1}^{4}t_{i}}$，以防这里的计算不够清晰易懂，马上会举个例子来详细解释。

来看一个例子，详细解释，假设算出了$z^{[l]}$，$z^{[l]}$是一个四维向量，假设为$z^{[l]} = \begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ - 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$，要做的就是用这个元素取幂方法来计算$t$，所以$t =\begin{bmatrix} e^{5} \\ e^{2} \\ e^{- 1} \\ e^{3} \\ \end{bmatrix}$，如果按一下计算器就会得到以下值$t = \begin{bmatrix} 148.4 \\ 7.4 \\ 0.4 \\ 20.1 \\ \end{bmatrix}$，从向量$t$得到向量$a^{[l]}$就只需要将这些项目归一化，使总和为1。如果把$t$的元素都加起来，把这四个数字加起来，得到176.3，最终$a^{[l]} = \frac{t} {176.3}$。

例如这里的第一个节点，它会输出$\frac{e^{5}}{176.3} =0.842$，这样说来，对于这张图片，如果这是得到的$z$值($\begin{bmatrix} 5 \\ 2 \\ - 1 \\ 3 \\ \end{bmatrix}$)，它是类0的概率就是84.2%。下一个节点输出$\frac{e^{2}}{176.3} =0.042$，也就是4.2%的几率。下一个是$\frac{e^{- 1}}{176.3} =0.002$。最后一个是$\frac{e^{3}}{176.3} =0.114$，也就是11.4%的概率属于类3，也就是小鸡组，对吧？这就是它属于类0，类1，类2，类3的可能性。

神经网络的输出$a^{[l]}$，也就是$\hat y$，是一个4×1维向量，这个4×1向量的元素就是算出来的这四个数字($\begin{bmatrix} 0.842 \\ 0.042 \\ 0.002 \\ 0.114 \\ \end{bmatrix}$)，所以这种算法通过向量$z^{[l]}$计算出总和为1的四个概率。

如果总结一下从$z^{[l]}$到$a^{[l]}$的计算步骤，整个计算过程，从计算幂到得出临时变量$t$，再归一化，可以将此概括为一个Softmax激活函数。设$a^{[l]} = g^{[l]}(z^{[l]})$，这一激活函数的与众不同之处在于，这个激活函数$g$ 需要输入一个4×1维向量，然后输出一个4×1维向量。之前，的激活函数都是接受单行数值输入，例如Sigmoid和ReLu激活函数，输入一个实数，输出一个实数。Softmax激活函数的特殊之处在于，因为需要将所有可能的输出归一化，就需要输入一个向量，最后输出一个向量。

那么Softmax分类器还可以代表其它的什么东西么？来举几个例子，有两个输入$x_{1}$，$x_{2}$，它们直接输入到Softmax层，它有三四个或者更多的输出节点，输出$\hat y$，将向展示一个没有隐藏层的神经网络，它所做的就是计算$z^{[1]} = W^{[1]}x + b^{[1]}$，而输出的出$a^{[l]}$，或者说$\hat y$，$a^{[l]} = y = g(z^{[1]})$，就是$z^{[1]}$的Softmax激活函数，这个没有隐藏层的神经网络应该能让对Softmax函数能够代表的东西有所了解。

这个例子中（左边图），原始输入只有$x_{1}$和$x_{2}$，一个$C=3$个输出分类的Softmax层能够代表这种类型的决策边界，请注意这是几条线性决策边界，但这使得它能够将数据分到3个类别中，在这张图表中，所做的是选择这张图中显示的训练集，用数据的3种输出标签来训练Softmax分类器，图中的颜色显示了Softmax分类器的输出的阈值，输入的着色是基于三种输出中概率最高的那种。因此可以看到这是logistic回归的一般形式，有类似线性的决策边界，但有超过两个分类，分类不只有0和1，而是可以是0，1或2。

这是（中间图）另一个Softmax分类器可以代表的决策边界的例子，用有三个分类的数据集来训练，这里（右边图）还有一个。对吧，但是直觉告诉，任何两个分类之间的决策边界都是线性的，这就是为什么看到，比如这里黄色和红色分类之间的决策边界是线性边界，紫色和红色之间的也是线性边界，紫色和黄色之间的也是线性决策边界，但它能用这些不同的线性函数来把空间分成三类。

来看一下更多分类的例子，这个例子中（左边图）$C=4$，因此这个绿色分类和Softmax仍旧可以代表多种分类之间的这些类型的线性决策边界。另一个例子（中间图）是$C=5$类，最后一个例子（右边图）是$C=6$，这显示了Softmax分类器在没有隐藏层的情况下能够做到的事情，当然更深的神经网络会有$x$，然后是一些隐藏单元，以及更多隐藏单元等等，就可以学习更复杂的非线性决策边界，来区分多种不同分类。