神经网络优化篇：为什么正则化有利于预防过拟合呢？（Why regularization reduces overfitting?）

为什么正则化有利于预防过拟合呢？

通过两个例子来直观体会一下。

左图是高偏差，右图是高方差，中间是Just Right。

现在来看下这个庞大的深度拟合神经网络。知道这张图不够大，深度也不够，但可以想象这是一个过拟合的神经网络。这是的代价函数 $J$ ，含有参数 $W$ ， $b$ 。添加正则项，它可以避免数据权值矩阵过大，这就是弗罗贝尼乌斯范数，为什么压缩 $L2$ 范数，或者弗罗贝尼乌斯范数或者参数可以减少过拟合？

直观上理解就是如果正则化 $\lambda$ 设置得足够大，权重矩阵 $W$ 被设置为接近于0的值，直观理解就是把多隐藏单元的权重设为0，于是基本上消除了这些隐藏单元的许多影响。如果是这种情况，这个被大大简化了的神经网络会变成一个很小的网络，小到如同一个逻辑回归单元，可是深度却很大，它会使这个网络从过度拟合的状态更接近左图的高偏差状态。

但是 $\lambda$ 会存在一个中间值，于是会有一个接近“Just Right”的中间状态。

直观理解就是 $\lambda$ 增加到足够大， $W$ 会接近于0，实际上是不会发生这种情况的，尝试消除或至少减少许多隐藏单元的影响，最终这个网络会变得更简单，这个神经网络越来越接近逻辑回归，直觉上认为大量隐藏单元被完全消除了，其实不然，实际上是该神经网络的所有隐藏单元依然存在，但是它们的影响变得更小了。神经网络变得更简单了，貌似这样更不容易发生过拟合，因此不确定这个直觉经验是否有用，不过在编程中执行正则化时，实际看到一些方差减少的结果。

再来直观感受一下，正则化为什么可以预防过拟合，假设用的是这样的双曲线激活函数。

用 $g(z)$ 表示 $tanh(z)$ ，发现如果 z 非常小，比如 z 只涉及很小范围的参数（图中原点附近的红色区域），这里利用了双曲正切函数的线性状态，只要 $z$ 可以扩展为这样的更大值或者更小值，激活函数开始变得非线性。

现在应该摒弃这个直觉，如果正则化参数λ很大，激活函数的参数会相对较小，因为代价函数中的参数变大了，如果 $W$ 很小，

如果 $W$ 很小，相对来说， $z$ 也会很小。

特别是，如果 $z$ 的值最终在这个范围内，都是相对较小的值， $g(z)$ 大致呈线性，每层几乎都是线性的，和线性回归函数一样。

如果每层都是线性的，那么整个网络就是一个线性网络，即使是一个非常深的深层网络，因具有线性激活函数的特征，最终只能计算线性函数，因此，它不适用于非常复杂的决策，以及过度拟合数据集的非线性决策边界。

总结一下，如果正则化参数变得很大，参数 $W$ 很小， $z$ 也会相对变小，此时忽略 $b$ 的影响， $z$ 会相对变小，实际上， $z$ 的取值范围很小，这个激活函数，也就是曲线函数 $tanh$ 会相对呈线性，整个神经网络会计算离线性函数近的值，这个线性函数非常简单，并不是一个极复杂的高度非线性函数，不会发生过拟合。

大家在编程作业里实现正则化的时候，会亲眼看到这些结果，总结正则化之前，给大家一个执行方面的小建议，在增加正则化项时，应用之前定义的代价函数 $J$ ，做过修改，增加了一项，目的是预防权重过大。

如果使用的是梯度下降函数，在调试梯度下降时，其中一步就是把代价函数 $J$ 设计成这样一个函数，在调试梯度下降时，它代表梯度下降的调幅数量。可以看到，代价函数对于梯度下降的每个调幅都单调递减。如果实施的是正则化函数，请牢记， $J$ 已经有一个全新的定义。如果用的是原函数 $J$ ，也就是这第一个项正则化项，可能看不到单调递减现象，为了调试梯度下降，请务必使用新定义的 $J$ 函数，它包含第二个正则化项，否则函数 $J$ 可能不会在所有调幅范围内都单调递减。