神经网络入门篇：详解神经网络概述和表示

神经网络概述（Neural Network Overview）

先开始快速浏览一下如何实现神经网络。上篇博客了解了逻辑回归，了解了这个模型(见图1.1.1)如何与下面公式1.1建立联系。

图1.1.1 :

公式1.1：

$$\left. \begin{array}{l} x\\ w\\ b \end{array} \right\} \implies{z={w}^Tx+b}$$

如上所示，首先需要输入特征$x$，参数$w$和$b$，通过这些就可以计算出$z$，公式1.2：

$$\left. \begin{array}{l} x\\ w\\ b \end{array} \right\} \implies{z={w}^Tx+b} \implies{a = \sigma(z)}\\ \implies{{L}(a,y)}$$

接下来使用$z$就可以计算出$a$。将的符号换为表示输出$\hat{y}\implies{a = \sigma(z)}$,然后可以计算出loss function $L(a,y)$

神经网络看起来是如下这个样子（图1.1.2）。正如之前已经提到过，可以把许多sigmoid单元堆叠起来形成一个神经网络。对于图3.1.1中的节点，它包含了之前讲的计算的两个步骤：首先通过公式1.1计算出值$z$，然后通过$\sigma(z)$计算值$a$。

图1.1.2

在这个神经网络（图1.1.2）对应的3个节点，首先计算第一层网络中的各个节点相关的数$z^{[1]}$，接着计算$\alpha^{[1]}$，在计算下一层网络同理；
会使用符号$^{[m]}$表示第$m$层网络中节点相关的数，这些节点的集合被称为第$m$层网络。这样可以保证$^{[m]}$不会和之前用来表示单个的训练样本的$^{(i)}$(即使用表示第$i$个训练样本)混淆；
整个计算过程，公式如下:
公式1.3：

$$\left. \begin{array}{r} {x }\\ {W^{[1]}}\\ {b^{[1]}} \end{array} \right\} \implies{z^{[1]}=W^{[1]}x+b^{[1]}} \implies{a^{[1]} = \sigma(z^{[1]})}$$

公式1.4：

$$\left. \begin{array}{r} \text{$a^{[1]} = \sigma(z^{[1]})$}\\ \text{$W^{[2]}$}\\ \text{$b^{[2]}$}\\ \end{array} \right\} \implies{z^{[2]}=W^{[2]}a^{[1]}+b^{[2]}} \implies{a^{[2]} = \sigma(z^{[2]})}\\ \implies{{L}\left(a^{[2]},y \right)}$$

类似逻辑回归，在计算后需要使用计算，接下来需要使用另外一个线性方程对应的参数计算$z^{[2]}$，
计算$a^{[2]}$，此时$a^{[2]}$就是整个神经网络最终的输出，用 $\hat{y}$表示网络的输出。

公式1.5：

$$\left. \begin{array}{r} {da^{[1]} = {d}\sigma(z^{[1]})}\\ {dW^{[2]}}\\ {db^{[2]}}\\ \end{array} \right\} \impliedby{{dz}^{[2]}={d}(W^{[2]}\alpha^{[1]}+b^{[2]}}) \impliedby{{{da}^{[2]}} = {d}\sigma(z^{[2]})}\\ \impliedby{{dL}\left(a^{[2]},y \right)}$$

知道这其中有很多细节，其中有一点非常难以理解，即在逻辑回归中，通过直接计算$z$得到结果$a$。而这个神经网络中，反复的计算$z$和$a$，计算$a$和$z$，最后得到了最终的输出loss function。

应该记得逻辑回归中，有一些从后向前的计算用来计算导数$da$、$dz$。同样，在神经网络中也有从后向前的计算，看起来就像这样，最后会计算$da^{[2]}$ 、$dz^{[2]}$，计算出来之后，然后计算计算$dW^{[2]}$、$db^{[2]}$ 等，按公式1.4、1.5箭头表示的那样，从右到左反向计算。

至此大概了解了一下什么是神经网络。

神经网络的表示

先回顾一下上一篇博客的图片，在这里将讨论这些图片的具体含义，也就是画的这些神经网络到底代表什么。

首先关注一个例子，本例中的神经网络只包含一个隐藏层（图1.2.1）。这是一张神经网络的图片，让给此图的不同部分取一些名字。

图1.2.1

有输入特征$x_1$、$x_2$、$x_3$，它们被竖直地堆叠起来，这叫做神经网络的输入层。它包含了神经网络的输入；然后这里有另外一层称之为隐藏层（图1.2.1的四个结点）。待会儿会回过头来讲解术语"隐藏"的意义；在本例中最后一层只由一个结点构成，而这个只有一个结点的层被称为输出层，它负责产生预测值。解释隐藏层的含义：在一个神经网络中，当使用监督学习训练它的时候，训练集包含了输入$x$也包含了目标输出$y$，所以术语隐藏层的含义是在训练集中，这些中间结点的准确值是不知道到的，也就是说看不见它们在训练集中应具有的值。能看见输入的值，也能看见输出的值，但是隐藏层中的东西，在训练集中是无法看到的。所以这也解释了词语隐藏层，只是表示无法在训练集中看到他们。

现在再引入几个符号，就像之前用向量$x$表示输入特征。这里有个可代替的记号$a^{[0]}$可以用来表示输入特征。$a$表示激活的意思，它意味着网络中不同层的值会传递到它们后面的层中，输入层将$x$传递给隐藏层，所以将输入层的激活值称为$a^{[0]}$；下一层即隐藏层也同样会产生一些激活值，那么将其记作$a^{[1]}$，所以具体地，这里的第一个单元或结点将其表示为$a^{[1]}_{1}$，第二个结点的值记为$a^{[1]}_{2}$以此类推。所以这里的是一个四维的向量如果写成Python代码，那么它是一个规模为4x1的矩阵或一个大小为4的列向量，如下公式，它是四维的，因为在本例中，有四个结点或者单元，或者称为四个隐藏层单元；
公式1.7

$$a^{[1]} = \left[ \begin{array}{ccc} a^{[1]}_{1}\\ a^{[1]}_{2}\\ a^{[1]}_{3}\\ a^{[1]}_{4} \end{array} \right]$$

最后输出层将产生某个数值$a$，它只是一个单独的实数，所以的$\hat{y}$值将取为$a^{[2]}$。这与逻辑回归很相似，在逻辑回归中，有$\hat{y}$直接等于$a$，在逻辑回归中只有一个输出层，所以没有用带方括号的上标。但是在神经网络中，将使用这种带上标的形式来明确地指出这些值来自于哪一层，有趣的是在约定俗成的符号传统中，在这里所看到的这个例子，只能叫做一个两层的神经网络（图1.2.2）。原因是当计算网络的层数时，输入层是不算入总层数内，所以隐藏层是第一层，输出层是第二层。第二个惯例是将输入层称为第零层，所以在技术上，这仍然是一个三层的神经网络，因为这里有输入层、隐藏层，还有输出层。但是在传统的符号使用中，如果阅读研究论文，会看到人们将这个神经网络称为一个两层的神经网络，因为不将输入层看作一个标准的层。

图1.2.2

最后，要看到的隐藏层以及最后的输出层是带有参数的，这里的隐藏层将拥有两个参数$W$和$b$，将给它们加上上标$^{[1]}$($W^{[1]}$,$b^{[1]}$)，表示这些参数是和第一层这个隐藏层有关系的。之后在这个例子中会看到$W$是一个4x3的矩阵，而$b$是一个4x1的向量，第一个数字4源自于有四个结点或隐藏层单元，然后数字3源自于这里有三个输入特征，之后会更加详细地讨论这些矩阵的维数，到那时可能就更加清楚了。相似的输出层也有一些与之关联的参数$W^{[2]}$以及$b^{[2]}$。从维数上来看，它们的规模分别是1x4以及1x1。1x4是因为隐藏层有四个隐藏层单元而输出层只有一个单元，之后会对这些矩阵和向量的维度做出更加深入的解释，所以现在已经知道一个两层的神经网络什么样的了，即它是一个只有一个隐藏层的神经网络。