神经网络基础篇：详解逻辑回归 & m个样本梯度下降

逻辑回归中的梯度下降

本篇讲解怎样通过计算偏导数来实现逻辑回归的梯度下降算法。它的关键点是几个重要公式，其作用是用来实现逻辑回归中梯度下降算法。但是在本博客中，将使用计算图对梯度下降算法进行计算。必须要承认的是，使用计算图来计算逻辑回归的梯度下降算法有点大材小用了。但是，认为以这个例子作为开始来讲解，可以使更好的理解背后的思想。从而在讨论神经网络时，可以更深刻而全面地理解神经网络。接下来让开始学习逻辑回归的梯度下降算法。

假设样本只有两个特征${{x}_{1}}$和${{x}_{2}}$，为了计算$z$，需要输入参数${{w}_{1}}$、${{w}_{2}}$ 和$b$，除此之外还有特征值${{x}_{1}}$和${{x}_{2}}$。因此$z$的计算公式为：
$z={{w}_{1}}{{x}_{1}}+{{w}_{2}}{{x}_{2}}+b$
回想一下逻辑回归的公式定义如下：
$\hat{y}=a=\sigma (z)$
其中$z={{w}^{T}}x+b$
$\sigma \left( z \right)=\frac{1}{1+{{e}^{-z}}}$
损失函数：
$L( {{{\hat{y}}}^{(i)}},{{y}^{(i)}})=-{{y}^{(i)}}\log {{\hat{y}}^{(i)}}-(1-{{y}^{(i)}})\log (1-{{\hat{y}}^{(i)}})$
代价函数：
$J\left( w,b \right)=\frac{1}{m}\sum\nolimits_{i}^{m}{L( {{{\hat{y}}}^{(i)}},{{y}^{(i)}})}$
假设现在只考虑单个样本的情况，单个样本的代价函数定义如下：
$L(a,y)=-(y\log (a)+(1-y)\log (1-a))$
其中$a$是逻辑回归的输出，$y$是样本的标签值。现在让画出表示这个计算的计算图。
这里先复习下梯度下降法，$w$和$b$的修正量可以表达如下：

$w:=w-a \frac{\partial J(w,b)}{\partial w}$，$b:=b-a\frac{\partial J(w,b)}{\partial b}$

如图：在这个公式的外侧画上长方形。然后计算：
$\hat{y}=a=\sigma(z)$
也就是计算图的下一步。最后计算损失函数$L(a,y)$。
有了计算图，就不需要再写出公式了。因此，为了使得逻辑回归中最小化代价函数$L(a,y)$，需要做的仅仅是修改参数$w$和$b$的值。前面已经讲解了如何在单个训练样本上计算代价函数的前向步骤。现在让来讨论通过反向计算出导数。
因为想要计算出的代价函数$L(a,y)$的导数，首先需要反向计算出代价函数$L(a,y)$关于$a$的导数，在编写代码时，只需要用$da$ 来表示$\frac{dL(a,y)}{da}$ 。
通过微积分得到：
$\frac{dL(a,y)}{da}=-y/a+(1-y)/(1-a)$
如果非常熟悉微积分，建议主动推导前面介绍的代价函数的求导公式，使用微积分直接求出$L(a,y)$关于变量$a$的导数。如果不太了解微积分，也不用太担心。现在已经计算出$da$，也就是最终输出结果的导数。
现在可以再反向一步，在编写Python代码时，只需要用$dz$来表示代价函数$L$关于$z$ 的导数$\frac{dL}{dz}$，也可以写成$\frac{dL(a,y)}{dz}$，这两种写法都是正确的。
$\frac{dL}{dz}=a-y$ 。
因为$\frac{dL(a,y)}{dz}=\frac{dL}{dz}=(\frac{dL}{da})\cdot (\frac{da}{dz})$，
并且$\frac{da}{dz}=a\cdot (1-a)$，
而 $\frac{dL}{da}=(-\frac{y}{a}+\frac{(1-y)}{(1-a)})$，因此将这两项相乘，得到：

${dz} = \frac{{dL}(a,y)}{{dz}} = \frac{{dL}}{{dz}} = \left( \frac{{dL}}{{da}} \right) \cdot \left(\frac{{da}}{{dz}} \right) = ( - \frac{y}{a} + \frac{(1 - y)}{(1 - a)})\cdot a(1 - a) = a - y$

博客中为了简化推导过程，假设${{n}_{x}}$ 这个推导的过程就是之前提到过的链式法则。如果对微积分熟悉，放心地去推导整个求导过程，如果不熟悉微积分，只需要知道$dz=(a-y)$已经计算好了。

现在进行最后一步反向推导，也就是计算$w$和$b$变化对代价函数$L$的影响，特别地，可以用:
$d{{w}_{1}}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i}^{m}{x_{1}^{(i)}}({{a}^{(i)}}-{{y}^{(i)}})$
$d{{w}_{2}}=\frac{1}{m}\sum\limits_{i}^{m}{x_{2}^{(i)}}({{a}^{(i)}}-{{y}^{(i)}})$
$db=\frac{1}{m}\sum\limits_{i}^{m}{({{a}^{(i)}}-{{y}^{(i)}})}$
博客中，
$d{{w}_{1}}$ 表示$\frac{\partial L}{\partial {{w}_{1}}}={{x}_{1}}\cdot dz$，
$d{{w}_{\text{2}}}$ 表示$\frac{\partial L}{\partial {{w}_{2}}}={{x}_{2}}\cdot dz$，
$db=dz$。
因此，关于单个样本的梯度下降算法，所需要做的就是如下的事情：
使用公式$dz=(a-y)$计算$dz$，
使用$d{{w}_{1}}={{x}_{1}}\cdot dz$ 计算$d{{w}_{1}}$， $d{{w}_{2}}={{x}_{2}}\cdot dz$计算$d{{w}_{2}}$，
$db=dz$ 来计算$db$，
然后:
更新${{w}_{1}}={{w}_{1}}-a d{{w}_{1}}$，
更新${{w}_{2}}={{w}_{2}}-a d{{w}_{2}}$，
更新$b=b-\alpha db$。
这就是关于单个样本实例的梯度下降算法中参数更新一次的步骤。

现在已经知道了怎样计算导数，并且实现针对单个训练样本的逻辑回归的梯度下降算法。但是，训练逻辑回归模型不仅仅只有一个训练样本，而是有$m$个训练样本的整个训练集。因此在下面讲解中，将这些思想应用到整个训练样本集中，而不仅仅只是单个样本上。

m个样本的梯度下降

在之前的博客中,已经看到如何计算导数，以及应用梯度下降在逻辑回归的一个训练样本上。现在想要把它应用在$m$个训练样本上。

首先，让时刻记住有关于损失函数$J(w,b)$的定义。

$J(w,b)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{L({{a}^{(i)}},{{y}^{(i)}})}$

当的算法输出关于样本$y$的${{a}^{(i)}}$，${{a}^{(i)}}$是训练样本的预测值，即：$\sigma ( {{z}^{(i)}})=\sigma( {{w}^{T}}{{x}^{\left( i \right)}}+b)$。
所以在前面是对于任意单个训练样本，如何计算微分当只有一个训练样本。因此$d{{w}_{1}}$，$d{{w}_{\text{2}}}$和$db$ 添上上标$i$表示求得的相应的值。如果面对的是之前的那种情况，但只使用了一个训练样本$({{x}^{(i)}},{{y}^{(i)}})$。
现在知道带有求和的全局代价函数，实际上是1到$m$项各个损失的平均。 所以它表明全局代价函数对${{w}_{1}}$的微分，对${{w}_{1}}$的微分也同样是各项损失对${{w}_{1}}$微分的平均。

但之前已经演示了如何计算这项，即之前是如何对单个训练样本进行计算。所以真正需要做的是计算这些微分，如在之前的训练样本上做的。并且求平均，这会给全局梯度值，能够把它直接应用到梯度下降算法中。

所以这里有很多细节，但让把这些装进一个具体的算法。同时需要一起应用的就是逻辑回归和梯度下降。

初始化$J=0,d{{w}_{1}}=0,d{{w}_{2}}=0,db=0$

代码流程：

J=0;dw1=0;dw2=0;db=0;
for i = 1 to m
    z(i) = wx(i)+b;
    a(i) = sigmoid(z(i));
    J += -[y(i)log(a(i))+(1-y(i)）log(1-a(i));
    dz(i) = a(i)-y(i);
    dw1 += x1(i)dz(i);
    dw2 += x2(i)dz(i);
    db += dz(i);
J/= m;
dw1/= m;
dw2/= m;
db/= m;
w=w-alpha*dw
b=b-alpha*db

这里只应用了一步梯度下降。因此需要重复以上内容很多次，以应用多次梯度下降。看起来这些细节似乎很复杂，但目前不要担心太多。希望明白，当继续尝试并应用这些在编程作业里，所有这些会变的更加清楚。

但这种计算中有两个缺点，也就是说应用此方法在逻辑回归上需要编写两个for循环。第一个for循环是一个小循环遍历$m$个训练样本，第二个for循环是一个遍历所有特征的for循环。这个例子中只有2个特征，所以$n$等于2并且${{n}_{x}}$ 等于2。 但如果有更多特征，开始编写的因此$d{{w}_{1}}$，$d{{w}_{2}}$，有相似的计算从$d{{w}_{3}}$一直下去到$d{{w}_{n}}$。所以看来需要一个for循环遍历所有$n$个特征。

当应用深度学习算法，会发现在代码中显式地使用for循环使的算法很低效，同时在深度学习领域会有越来越大的数据集。所以能够应用的算法且没有显式的for循环会是重要的，并且会帮助适用于更大的数据集。所以这里有一些叫做向量化技术,它可以允许的代码摆脱这些显式的for循环。

想在先于深度学习的时代，也就是深度学习兴起之前，向量化是很棒的。可以使有时候加速的运算，但有时候也未必能够。但是在深度学习时代向量化，摆脱for循环已经变得相当重要。因为越来越多地训练非常大的数据集，因此真的需要的代码变得非常高效。所以在接下来的几个博客中，会谈到向量化，以及如何应用向量化而连一个for循环都不使用。所以学习了这些，希望有关于如何应用逻辑回归，或是用于逻辑回归的梯度下降，事情会变得更加清晰。当进行编程练习，但在真正做编程练习之前让先谈谈向量化。然后可以应用全部这些东西，应用一个梯度下降的迭代而不使用任何for循环。