关于刘谦2024春晚的数学游戏原理

自己想出来的！

---

首先牌的顺序肯定是形如 $ABCDABCD$。

将牌的顺序考虑成一个字符环。按照名字长度对该字符环进行左移，本质上没有打乱这个环的顺序。

因此在置换后，牌的顺序还是会形如 $ABCDABCD$。

将前三张随机放到牌堆中间，我们发现此时牌堆顶和牌堆底的两张牌是一样的。

因此将牌堆顶部的那张牌拿出并作为关键牌，此时关键牌是和牌堆底部的牌一样的。

按照南方、北方、不确定取前 $1,2,3$ 张牌插入到牌堆中，并不会对牌堆底部的牌产生影响。

按照性别丢前 $1,2$ 张牌，并不会对牌堆底部的牌产生影响。

此时分类讨论：

1. 如果丢了 $1$ 张牌，则此时牌堆一共有 $6$ 张牌，设其分别为 $ABCDEF$。

   置换 $7$ 次，变成 $BCDEFA$。

   最后一步取丢取丢，模拟一下可知最后会取到 $F$。

2. 如果丢了 $2$ 张牌，则此时牌堆一共有 $5$ 张牌，设其分别为 $ABCDE$。

   置换 $7$ 次，变成 $CDEAB$。

   最后一步取丢取丢，模拟一下可知最后会取到 $E$。

因此，无论是丢 $1$ 张牌还是丢 $2$ 张牌，最后剩下的一定都是牌堆底部的牌，然后这张牌也会和关键牌一样。

证毕。