杂题

1

给定一个长度为 $S$ 字符串 $s$ 与 一个正整数 $q$，接下来有 $q$ 次询问，第 $i$ 次询问给出一个长度为 $T_i$ 字符串 $t_i$，求 $t_i$ 在 $s$ 的出现次数。

保证 $S,q,\sum _{i=1}^q{T}_i\le {10}^5$。

Solution

后缀自动机，但是我不会。

注意到 $\sum _{i=1}^q{T}_i\le {10}^5$，则 $T_i$ 的种类至多有 $\sqrt{{10}^5}\approx 316$ 种，那么就可以对每一种长度相等的 $t$ 一起处理，可以使用 Hash 在 $O(n)$ 的时间复杂度进行计算。这样时间复杂度就是 $O(n\sqrt{n})$ 的。

2

给定一个元素个数为 $n$ 的可重集 $A$，进行 $n-1$ 次操作。每一次操作可以选择可重集内的两个数，删除这两个数，插入这两个数的差值。

显然，在进行 $n-1$ 次操作后这个集合会只剩下一个数。最大化这个数。

$n\le 100$。设初始集合内第 $i$ 个元素为 $A_i$，保证 $\mathrm{\forall }i\le n,1\le A_i\le {10}^5$。

Solution

设最终的这个数为 $s$，初始集合中最大的数为 $A_{max}$。

显然有： $s\le A_{max}$。

那我们就可以将最大值单独拎出来，剩下的数去操作成最小的可能的数。

设集合 $B$ 为 $\{x|x\in Aandx\ne A_{max}\}$。

考虑这个最小的数的构成，一定是 $B$ 中的数加加减减得来的。

举个例子，比如 $10$、$14$、$20$，显然这三个数能构成的最小的数为 $4$（$20-14=6,10-6=4$）。这个 $4$ 能表示为 $10-(20-14)=10-20+14$。

我们发现，当这些操作步骤合并并去除所有括号后，它一定能表示成下面这种形式：

$x_1+x_2+x_3+...+x_n-y_1-y_2-y_3-...-y_m$。

即 $(x_1+x_2+x_3+...+x_n)-(y_1+y_2+y_3+...+y_m)$。

所以求这个最小的数等价于：将 $B$ 划分成两个集合，使得这两个集合的元素和的差值最小。

做个背包就行了。注意到值域能到达 $100\times {10}^5={10}^7$，普通的背包是过不了的，需要使用 bitset 优化。

相似的题目：CF1038D Slime

3

对于字符串 $s$ ，定义镜像操作为：$s^{\prime }=s_1{s}_2{s}_3...s_n{s}_{n-1}{s}_{n-2}...s_1$。

如：对于 $s=abc$，$s^{\prime }=abcba$。

现给定一字符串 $S$，求有多少个字符串 $T$ 使得 $S$ 是 $T^{‴}...$ 的前缀。

这里的 $T^{‴}...$ 指的是 $T$ 在进行若干次镜像操作后的字符串。

设 $|T|$ 为字符串 $T$ 的长度。

显然，对于所有的 $|T|>|S|$ 一定有解，请求出所有 $|T|\le |S|$ 的可能的长度。

多测，$|S|\le {10}^6,\sum |S|\le 5\times {10}^6$

Solution

队友写的都是 $O(n\log n)$ 的做法，这里提供 $O(n)$ 的做法。

下文的合法指的是某个字符串在经过若干次操作后能满足题目要求。

首先有两个很显然的结论：

1. 对于题目所求的所有的 $T$，都一定是 $S$ 的前缀。

2. 任意的一个 $T$，进行一次镜像操作后长度一定是 $2|T|-1$，且操作后所得的串一定是回文串。

设 $s_i=S_1{S}_2...S_i$，$p_i$ 为 $s_i$ 的最大回文半径。显然，$p_i$ 可以使用 manacher 在 $O(n)$ 的时间复杂度内算出来。

对于 $i\ge \frac{|S|}{2}$，判断一下 $s_i$ 是否大于 $p_i$ 即可。

对于 $i\le \frac{|S|}{2}$，$s_i$ 显然一定需要经过不少于 $2$ 次镜像操作长度才能超过 $|S|$。

我们发现对于一个合法的 $i$，$s_i^{\prime }$ 至少要与 $s_{2i-1}$ 相等。

那么我们就可以设 $f_i$ 为 $s_i$ 是否为合法前缀。先预处理出 $i\ge \frac{|S|}{2}$ 的部分，然后 $i\le \frac{|S|}{2}$ 的部分我们有： $f_i=f_{2i-1}\mathrm{\&}i\ge p_i$。

这里 $\mathrm{\&}$ 表示逻辑与。

逆推即可。