CF424C的题解

简单题。CF 评分才 *1600。

可以直接先把 $Q$ 拆成两部分。

$$\begin{array}{rl}a& ={\oplus }_{i=1}^n{p}_i\\ b& ={\oplus }_{i=1}^n{\oplus }_{j=1}^n(imodj)\\ Q& =a\oplus b\end{array}$$

$a$ 很好算，我们看一下 $b$ 具体要怎么算。

把 $b$ 所有项写出来：

$$\begin{array}{rl}b=& (1mod1)\oplus (1mod2)\oplus ...(1modn)\oplus \\ & (2mod1)\oplus (2mod2)\oplus ...(2modn)\oplus \\ & ...\\ & (nmod1)\oplus (nmod2)\oplus ...(nmodn)\\ =& (1mod1)\oplus (2mod1)\oplus ...(nmod1)\oplus \\ & (1mod2)\oplus (2mod2)\oplus ...(nmod2)\oplus \\ & ...\\ & (1modn)\oplus (2modn)\oplus ...(nmodn)\end{array}$$

发现 $i$ 和 $j$ 的位置互换并不会有什么影响。

所以我们有：

$$b={\oplus }_{i=1}^n{\oplus }_{j=1}^n(imodj)={\oplus }_{i=1}^n{\oplus }_{j=1}^n(jmodi)$$

记 $pr{e}_i={\oplus }_{s=1}^{i}s$，根据异或的性质，我们有 $a\oplus a=0$。

那么

$${\oplus }_{j=1}^n(jmodi)=\{\begin{array}{r}pr{e}_{nmodi}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor mod2=0\\ pr{e}_{nmodi}\oplus pr{e}_i\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \mathrm{mod}2=1\end{array}$$

则

$$\begin{array}{rl}b& ={\oplus }_{i=1}^n{\oplus }_{j=1}^n(jmodi)\\ & =pr{e}_{nmodi}{\oplus }_{i=1\mathrm{\&}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor mod2=1}^{n}pr{e}_i\end{array}$$

那么代码就很好写了。

#include<cstdio>
#define ll long long
const int N=1e6+10;
int n;
ll pre[N],ans;
ll p;
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%lld",&p),ans^=p,pre[i]=pre[i-1]^i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		if((n/i)&1) ans^=pre[i-1];
		ans^=pre[n%i];
	}
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}

时间复杂度 $O(n)$。