勾股数

这道题是一对兄弟在几个夜晚里想出来的idea：

【哥：KoSaking，弟：osfly】

弟：哥，这是什么？（指着哥哥远古小本子上的一行字）

哥：哦，那是我初三上课无聊时想的一个“定律”，还没证明，也懒得证明。

弟弟拿出了草稿纸和笔，不到五分钟就证完了。

弟：还挺好证的。

哥：是吗，我不知道。

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“定律”原文：

若

$$\begin{array}{rl}& y=x+1\\ & a=x+y\\ & b=x^2+y^2-1\\ & c=x^2+y^2\end{array}$$

则 $a,b,c$ 为一组勾股数。

简证：将 $y=x+1$ 代入后面几个式子硬算可得出。

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弟：可是它不是强定律捏，看看能不能把这个 $1$ 消去吧。

哥弟俩花了大概10分钟。

哥：嗯，这个应该没错了。

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“强定律”原文：

若

$$\begin{array}{rl}& y=x+n(n|2x^2,\{x,y,n\}\in \mathbb{N})\\ & a=x+y\\ & b=\frac{x^2+y^2}{n}-n\\ & c=\frac{x^2+y^2}{n}\end{array}$$

则 $a,b,c$ 为一组勾股数。

证明方法和“非强定律”的证明方法一致。

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哥：诶，那如果给定一条边，根据这个定律可以构造出所有的勾股数吗？

弟：……好像可以，如果这条边是 $a$ 的话可以暴力枚举 $x,y$，确定 $x,y$ 就能确定 $b$，也就能确定 $c$ 了。

哥：试一试？

弟弟打开了电脑，噼里啪啦了大概20分钟，验证了其正确性。弟弟兴奋不已。

哥：那如果是斜边呢？

两人沉默了一会。

哥：我知道了，$b^2$ 挪到 $c^2$ 那边去，开个根号，$b$ 用 $c-n$ 代替，把 $(c-n{)}^2$ 的括号拆出来，合并一下就能得到 $\sqrt{2cn-n^2}$，这时候枚举 $n$ 就可以了。

弟弟在刚刚的代码里添加了几行，证明是正确的，两个人十分高兴。

弟：也就是说，现在我们给出一个 $n$，就能在 $O(n)$ 的时间复杂度里弄出来所有包含这条边的勾股数了，对吧。

哥：对。

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形式化的题解：

回到问题，先来分析 $p$ 为 $a$ 的情况：

令 $p=a$，我们来将 $p$ 拆解为 $x+y=2x+n$ 的形式。

$$\begin{array}{rl}& a^2+b^2=c^2\\ & a^2=c^2-b^2\\ & a^2=(c+b)(c-b)\end{array}$$

根据定理，将其化作：

$$\begin{array}{rl}& a^2=n(b+c)\\ & b+c=\frac{a^2}{n}\end{array}$$

要想求出所有可能的勾股数，即我们要 求出 $b+c$ 的所有可能性，枚举 $x$ 或 $n$ 均可。

易知此时 $n$ 的范围为 $1\sim p-1$，所以时间复杂度为 $O(p)$。

$p$ 为 $b$ 的情况同理。

再来分析 $p$ 为 $c$ 的情况：

令 $p=c$，根据定理得:

$$\begin{array}{rl}{a}^2& =c^2-b^2\\ a& =\sqrt{c^2-b^2}\\ & =\sqrt{c^2-(c-n{)}^2}\\ & =\sqrt{c^2-c^2+2cn-n^2}\\ & =\sqrt{2cn-n^2}\end{array}$$

要想求出所有可能的勾股数，即我们要 求出 $a$ 的所有可能性，枚举 $n$ 即可。

易知此时:

$$\begin{array}{rl}2cn-n^2& >0\\ 2cn& >n^2\\ n& <2c\\ \end{array}$$

所以 $n$ 的范围为 $1\sim 2c$，即$1\sim 2p$，时间复杂度为 $O(p)$。

综上，总时间复杂度为 $O(p)$，带 $3$ 倍常数，可以通过此题。

#include<cstdio>
#include<cmath>
#define int unsigned long long
int work(int p)
{
	int cnt=0,a,b,c,x,y,n;
	a=p;
//	for(x=1;x<=p-1;x++)//枚举x
//	{
//		y=a-x;
//		n=y-x;
//		if(n>0&&(2*x*x)%n==0)
//		{
//			b=(x*x+y*y)/n-n;
//			c=(x*x+y*y)/n;
//			cnt++;
//		}
//	}
	for(n=1;n<=p-1;n++)//枚举n
	{
		if((p-n)%2) continue;
		x=(p-n)/2;
		y=x+n;
		if(x<y&&(2*x*x)%n==0)
		{
			b=(x*x+y*y)/n-n;
			c=(x*x+y*y)/n;
			cnt++; 
		}
	}
	c=p;
	for(n=1;n<2*p;n++)
	{
		int tmp=2*c*n-n*n;
		int b=c-n;
		a=sqrt(tmp);
		if(a*a==tmp&&c>n&&a<b) cnt++;
	}
	return cnt;
}
signed main()
{
	int t;
	scanf("%llu",&t);
	while(t--)
	{
		int p;
		scanf("%llu",&p);
		printf("%llu\n",work(p));
	}
	return 0;
}