凸透镜成像之探究焦距、物距与像距之间的关系

for 龙湖区物理实验比赛

实验主题：凸透镜成像之探究焦距、物距与像距之间的关系

学校：龙湖实验中学

班级：816班

姓名：蔡沐喆、孙芮泽、马翊翔、江嘉慧、林东乐

指导老师：李晓

实验器材：光具座、凸透镜、光屏、“F”形LED灯

原理：光的折射

过程：

1.探究成实像时的关系

在1倍焦距以外反复移动LED灯并且移动光屏使得在光屏上能呈现出最小最亮的像，记录LED灯到凸透镜的距离（物距）与光屏到凸透镜的距离（像距），探究物距、像距和焦距的关系。

2.探究成虚像时的关系

由于无法测量虚像像距，故只能通过几何推导

3.实验猜想：

当成实像时

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$$

当成虚像时

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}-\frac{1}{v}$$

合理推理计算：证明焦距、物距与像距之间的关系

利用数学知识用几何的方式证明其结论

1.成实像时

$$\mathrm{如}\mathrm{图}，\mathrm{设}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{高}（AB=OP）\mathrm{为}{h}_u，\mathrm{物}\mathrm{距}（AO）\mathrm{为}u，\mathrm{像}\mathrm{高}（A^{\prime }{B}^{\prime }）\mathrm{为}{h}_v，\mathrm{像}\mathrm{距}（O{A}^{\prime }）\mathrm{为}v，\mathrm{焦}\mathrm{距}（FO）\mathrm{为}f$$

$$\begin{gathered} \mathrm{在}\mathrm{△}ABO\mathrm{与}\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }O\mathrm{中} \\ \{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }BOA=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }O{A}^{\prime }\\ \mathrm{\angle }BAO=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }O\end{array} \\ \therefore \mathrm{△}ABO\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }O \end{gathered}$$

$$\therefore \frac{h_u}{h_v}=\frac{u}{v}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{在}\mathrm{△}POF\mathrm{与}\mathrm{△}{B}^{\prime }{A}^{\prime }F\mathrm{中} \\ \{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }POF=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }F\\ \mathrm{\angle }OFP=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }F{B}^{\prime }\end{array} \\ \therefore \mathrm{△}POF\backsim \mathrm{△}{B}^{\prime }{A}^{\prime }F \end{gathered}$$

$$\therefore \frac{h_u}{h_v}=\frac{f}{v-f}$$

$$\begin{array}{rl}\therefore \frac{u}{v}& =\frac{f}{v-f}\\ vf& =u(v-f)\\ vf& =uv-uf\\ uf+vf& =uv\\ (u+v)f& =uv\\ f& =\frac{uv}{u+v}\\ \frac{1}{f}& =\frac{u+v}{uv}\\ \frac{1}{f}& =\frac{1}{u}+\frac{1}{v}\end{array}$$

2.成虚像时

$$\mathrm{如}\mathrm{图}，\mathrm{设}\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{高}（AB=OP）\mathrm{为}{h}_u，\mathrm{物}\mathrm{距}（AO）\mathrm{为}u，\mathrm{像}\mathrm{高}（A^{\prime }B）\mathrm{为}{h}_v，\mathrm{像}\mathrm{距}（A^{\prime }O）\mathrm{为}v，\mathrm{焦}\mathrm{距}（OF）\mathrm{为}f$$

$$\begin{gathered} \mathrm{在}\mathrm{△}ABO\mathrm{与}\mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }O\mathrm{中} \\ \{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }BOA=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }O{A}^{\prime }\\ \mathrm{\angle }BAO=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }O\end{array} \\ \therefore \mathrm{△}ABO\backsim \mathrm{△}{A}^{\prime }{B}^{\prime }O \end{gathered}$$

$$\therefore \frac{h_u}{h_v}=\frac{u}{v}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{在}\mathrm{△}POF\mathrm{与}\mathrm{△}{B}^{\prime }{A}^{\prime }F\mathrm{中} \\ \{\begin{array}{l}\mathrm{\angle }POF=\mathrm{\angle }{B}^{\prime }{A}^{\prime }F\\ \mathrm{\angle }OFP=\mathrm{\angle }{A}^{\prime }F{B}^{\prime }\end{array} \\ \therefore \mathrm{△}POF\backsim \mathrm{△}{B}^{\prime }{A}^{\prime }F \end{gathered}$$

$$\therefore \frac{h_u}{h_v}=\frac{f}{v+f}$$

$$\begin{array}{rl}\therefore \frac{u}{v}& =\frac{f}{v+f}\\ vf& =u(v+f)\\ vf& =uv+uf\\ vf-uf& =uv\\ (v-u)f& =uv\\ f& =\frac{uv}{v-u}\\ \frac{1}{f}& =\frac{v-u}{uv}\\ \frac{1}{f}& =\frac{1}{u}-\frac{1}{v}\end{array}$$

$$\mathrm{证}\mathrm{毕}$$

总结

当成实像时

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}+\frac{1}{v}$$

当成虚像时

$$\frac{1}{f}=\frac{1}{u}-\frac{1}{v}$$