常系数齐次线性递推学习笔记

求一个满足 $k$ 阶齐次线性递推数列 $a_i$ 的第 $n$ 项，即：

$$f_n=\sum _{i=1}^k{a}_i{f}_{n-i}$$

$n\le {10}^{18},k\le 32000$ 。

使用矩阵乘法加速可以做到 $O(k^3\log n)$ ，运用这一项科技，可以做到 $O(k\log k\log n)$ 。

数列转化为生成函数

将该线性递推序列看作一个生成函数：

$$F(x)=\sum _{i=0}^n{f}_i{x}^i$$

将递推式也视为一个生成函数：

$$A(x)=\sum _{i=0}^k{a}_i{x}^i$$

显然有：

$$F(x)=F(x)A(x)+R(x)$$

其中 $R(x)$ 为加以修正的常数项。进一步化式子，将其表示为分式形式。

$$F(x)=\frac{R(x)}{1-A(x)}$$

然后就可以用常系数齐次线性递推来优化了。$\text{ps.}$ 分母那一坨东西也被叫做数列的特征方程。

常系数齐次线性递推

现在已经将所求数列转化成了一个生成函数的分式形式，所求即为：

$$[x^n]F(x)=\frac{P(x)}{G(x)}$$

接下来的一步非常巧妙！将其系数按照奇偶分开：

$$[x^n]F(x)=\frac{P(x)G(-x)}{G(x)G(-x)}$$

先看这个分母，将其视为一个整体显然是一个偶函数，因此其奇数项系数为 $0$ 。将分子系数按照奇偶分开：

$$[x^n]F(x)=\frac{xO(x^2)+E(x^2)}{G(x^2)}$$

对 $n$ 按照奇偶性分类讨论，如果是奇数的话保留左边，否则保留右边不断递归下去，直到 $n=0$ 也就是仅剩常数项为止。

多项式乘法使用 $\text{FFT}$ 优化复杂度可以做到 $O(k\log n\log k)$ 。