FWT 快速沃尔什变换学习笔记

$\text{FWT}$ 快速沃尔什变换

给定两个序列 $a,b$ ，求解序列 $c$ 满足：

$$c_i=\sum _{j\cdot k=i}{a}_j{b}_k$$

其中 $\cdot$ 可以为 $\mathrm{\&}$ ，$|$ ，还有 $\oplus$ 等位运算。快速沃尔什变换用于求解位运算卷积等问题。

$\text{and}$ 、$\text{or}$ 卷积

以 $\text{or}$ 为例

记

$$FWT(a{)}_i=\sum _{j|i=i}{a}_j$$

则

$$FWT(c{)}_i=FWT(a{)}_{i}FWT(b{)}_i=\sum _{j|i=i}{a}_i\sum _{k|i=i}{b}_k=\sum _{(j|k)|i=i}{a}_j{b}_k$$

那么我们只要完成 $a\to FWT(a)$ 和 $FWT(a)\to a$ 这两种操作即可。

先考虑前者，分治处理，将 $a$ 序列中按照下标最高位分类。记 $a_0$ 为最高位为 $0$ 的那一部分，$a_1$ 为最高位为 $1$ 的那一部分，考虑合并的过程：

$$FWT(a)=merge(FWT(a_0),FWT(a_0)+FWT(a_1))$$

$merge$ 表示将两个序列拼接，$+$ 表示对应位相加。其原理是 $a_0$ 中的每一位都是其在 $a_1$ 中的子集，需要做贡献。

那么第二种操作就是将上述分治过程逆过来即可：

$$a=merge(a_0,a_1-a_0)$$

再来考虑 $\text{and}$

记

$$FWT(a{)}_i=\sum _{j\mathrm{\&}i=i}{a}_j$$

则

$$FWT(a)=merge(a_0+a_1,a_1)$$

$$a=merge(a_0-a_1,a_1)$$

$\text{xor}$ 卷积

这里记

$$FWT(a{)}_i=\sum _{j\oplus i=0}{a}_j-\sum _{j\oplus i=1}{a}_j$$

其中 $j\oplus i=popcount(j\mathrm{\&}i)\mathrm{\&}1$ ，考虑每一位对答案的贡献，不难发现满足：

$$(j\oplus i)\text{xor}(k\oplus i)=(j\text{xor}k)\oplus i$$

因此：

$$FWT(c)=FWT(a)FWT(b)=(\sum _{j\oplus i=0}{a}_j-\sum _{j\oplus i=1}{a}_j)(\sum _{k\oplus i=0}{b}_k-\sum _{k\oplus i=1}{b}_k)$$

$$=\sum _{(j\text{xor}k)\oplus i=0}{a}_j{b}_k-\sum _{(j\text{xor}k)\oplus i=1}{a}_j{b}_k$$

两部分求解过程依然是考虑分治与还原。

$$FWT(a)=merge(FWT(a_0)+FWT(a_1),FWT(a_0)-FWT(a_1))$$

$$a=merge(\frac{a_0+a_1}{2},\frac{a_0-a_1}{2})$$

然后到这里就做完了！