Codeforces 做题记录

CF1753C. Wish I Knew How to Sort

首先设原序列包含 $m$ 个 $0$ ，并且初始状态中前 $m$ 个位置中有 $k$ 个 $0$ 。

考虑 $DP$ ，设 $f[i]$ 表示前 $m$ 个位置中有 $i$ 个 $1$ 的期望操作次数。

转移较为容易：

$$f_i=p\cdot f_{i+1}+(1-p)\cdot f_i+1$$

其中 $p=\frac{2(n-i{)}^2}{n(n-1)}$ 。

CF1744F. MEX vs MED

我们从 $0$ 开始从小到大加数，维护恰好包含了 $0-i$ 这些数的区间 $[L,.R]$。此时包含我们维护的这个区间的区间的 $mex$ 一定大于 $i$ 。

我们想要让 $med<=i$ ，那么区间长度 $len<=2(i+1)$ 。我们计算出有多少个长度为 $2(i+1)$ 和 $2i+1$ 的区间包含$[L,R]$ 。

这样显然是不重不漏的。

CF1748D. ConstructOR

转化一下题目：我们要找到一个 $d$ 的倍数，满足其在二进制表示下包含 $a|b$ 。

这题有这么一条关键的性质：

• 令 $x$ 是 $y$ 的倍数，那么一定满足 $lowbit(x)>=lowbit(y)$

这样我们考虑无解的情况，如果 $min(lowbit(a),lowbit(b))<lowbit(d)$ 。

否则的话我们有一种构造方案，满足一定有解。

记当前处理出来的答案为 $res$ 我们从低位到高位考虑，记 $lowbit(d)=x$ 如果 $res$ 第 $i$ 位等于 $0$ ，$a|b$ 第 $i$ 位不等于 $0$ ，我们就让 res+=d<<(i-x) 。

这样的话最坏情况下，沟造出来的数为 $1+2d+d\cdot 2^2+...+d\cdot 2^{29}$ ，由于 $d<2^{30}$ ，所以构造出来的 $res<=2^{60}$ 。

CF1748E. Yet Another Array Counting Problem

不难发现，我们需要让 $b$ 序列的相对大小关系与 $a$ 序列相等。由于 $\sum n\cdot m\le {10}^6$ ，我们将原树建笛卡尔树，对于每个节点，我们令 $f_{i,j}$ 表示在 $i$ 结点填 $j$ 的方案数。转移如下：

$$f_{i,j}=\sum _{k=1}^{j-1}{f}_{ls,k}\cdot \sum _{t=1}^j{f}_{rs,t}$$

状态数最多只有 ${10}^6$ ，直接记忆化搜索就能过。

CF1743F. Intersection and Union

对于本题，直接计算每一种情况的贡献非常困难，因此我们考虑：拆贡献 。我们单独计算出每一个数会存在于最终答案的方案数，然后求和即可。

对于每一个数 $x$ ，我们设计 $DP$ ，设 $f[i][0/1]$ 表示已经完成了前 $i$ 次操作，$x$ 这个数是否剩下的方案数。

考虑转移，对于第 $i$ 个区间包含 $x$ 和不包含 $x$ 分开考虑。

1. 包含

$$f_{i,0}=f_{i-1,0}+f_{i-1,1}$$

$$f_{i,1}=2f_{i-1,0}+2f_{i-1,1}$$

2. 不包含

$$f_{i,0}=3f_{i-1,0}+f_{i-1,1}$$

$$f_{i,1}=2f_{i-1,1}$$

对于这种 $f_i$ 的状态仅与 $f_{i-1}$ 有关，且系数较为好处理的，我们可以考虑 $ddp$ 。

我们把转移方程写成系数的形式：

$$\left[\begin{array}{c}{f}_{i,0}\\ f_{i,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 2& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{f}_{i-1,0}\\ f_{i-1,1}\end{array}\right]$$

$$\left[\begin{array}{c}{f}_{i,0}\\ f_{i,1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 2\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{f}_{i-1,0}\\ f_{i-1,1}\end{array}\right]$$

线段树维护一下，对于每个区间是否包含就是单点修。