莫比乌斯反演学习笔记

莫比乌斯函数

令 \(n=\prod_{i=1}^kp_i^{c_i}\) ，则 \(\mu(n)\) 定义如下：

\[f(x) = \begin{cases} 1 & n=1\\ (-1)^k & \forall c_i\leq 1\\ 0 & \exists c_i>1 \end{cases} \]

用线性筛求 \(\mu\) 模板如下

inline void Init() {
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++) {
        if(!pd[i]) p[++idx]=i, mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=idx && i*p[j]<N;j++) 
            if(i%p[j]==0) { pd[i*p[j]]=1, mu[i*p[j]]=0; break; }
            else pd[i*p[j]]=1, mu[i*p[j]]=-mu[i];
    }
}

常用 \(trick\)

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]= \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m\sum_{d\mid gcd(i,j)} \mu(d)= \sum_{d=1}^n \mu(d)\left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor \frac{m}{d}\right\rfloor \]

证明如下：

\[\sum_{d|n} \mu (d)=[n=1] \]

若 \(n \neq 1\) ，令

\[n=\prod_{i=1}^kp_i^{c_i} ,n'=\prod_{i=1}^kp_i \]

则

\[\sum_{d|n}\mu (d)=\sum_{d|n'} \mu(d)=\sum_{i=0}^k \tbinom{k}{i}(-1)^i=(-1+1)^k=0\]

\[n=\sum_{d \mid n} \varphi(d) \]

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m gcd(i,j)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m \sum_{d \mid gcd(i,j) }\varphi (d)=\sum_{d=1}^n\varphi(d) \left\lfloor \frac{n}{d}\right\rfloor\left\lfloor \frac{m}{d}\right\rfloor \]

\[d(ij)=\sum_{x \mid i}\sum_{y \mid j}[gcd(x,y)=1] \]

其中 \(d(i)\) 为 \(i\) 的约数个数
5.

\[\sum_{i=1}^n lcm(n,i)= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \frac{n^2}{gcd(i,n)}+n= \frac{n}{2}\sum_{d \mid n} \frac{n\varphi(\frac{n}{d})}{d}+n=\frac{n}{2}\sum_{i\mid n}i\varphi(i)+n \]