线性基学习笔记

线性基

概念：

线性基就是一组基（啊说通俗一点点就是一组数字），这一组基相互进行异或操作能够表示出给定原集合的所有异或和，我们一般选择最简单的一组。

可用于每一个亦或和的排名以及每个排名对应的异或和。

构建

线性基的构建相当的简单，对于每次给定的一个数 a，对于线性基从大到小考虑，设当前考虑的位置为 $i$ ，如果 $a$ 的第 $i$ 位是 $1$ ，进行如下操作：

• 如果第 $i$ 个位置已经被占数字 $b$ 了，我们让 $a=a\oplus b$ ，然后继续考虑下一个位置。
• 如果第 $i$ 个位置没有被占领，那么让 $a$ 占领这个位置，然后跳出循环。

考虑这样做为什么是正确的。

假设线性基原有数字 $a$ ，对于待插入的数字 $b$ 。

• 如果 $b$ 没有异或上 $a$ ，那么两个数字在线性基中都存在，正确性显然。
• 如果 $b$ 异或上了 $a$ ，也就是线性基中存在数字 $c=a\oplus b$ ，那么 $b=a\oplus c,a\oplus b=c$

推广到多个也是正确的。

代码如下

inline void Insert(LL v) {
	for(int i=62;i>=0;i--)
		if(v>>i & 1) {
			if(!a[i]) { a[i]=v; return ; } 
			else v^=a[i];
		}
}

简化

上述方法构造出来的线性基可以进一步进行简化，我们简化的目的，就是让每一位最多只在线性基中一个位置上为 $1$ ，这样就可以消除彼此之间的干扰，做与排名有关的工作。

正确性同上

代码如下

inline void Build() {
	for(int i=0;i<=62;i++)
		if(a[i]) 
			for(int j=i+1;j<=62;j++) if(a[j]>>i & 1) a[j]^=a[i];
	for(int i=0;i<=62;i++) ans^=a[i];
}

求排名

简化之后，每一位至多只会在线性基中的一个位置上为 $1$ ，且位置已经排好了序，每个位置的数我们都可以选择异或上它或者不这么做，想想就跟二进制数非常有关，如果排名 $k$ 的从大到小第 $i$ 位为 $1$ 的话，我们就异或上线性基从大到小第 $i$ 个位置的数。注意特别考虑下 $0$ 即可。

inline int Qry(int v) {
	int rk=0;
	for(int i=0;i<=idx;i++)
		if(v>>o[i] & 1) rk+=1<<i;
	return ++idx, rk;
}