背包！背包！HDU 2602 Bone Collector + HDU 1114 Piggy-Bank + HDU 2191 512

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2602

第一题 01背包问题 

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1114

第二题 完全背包问题

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2191

第三题 多重背包问题

这里重复使用数组 认识倒序 和 正序的原因

转自:http://www.cppblog.com/tanky-woo/archive/2010/07/31/121803.html

"

01背包（ZeroOnePack）: 有N件物品和一个容量为V的背包。（每种物品均只有一件）第i件物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放。

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

把这个过程理解下：在前i件物品放进容量v的背包时，

它有两种情况：

第一种是第i件不放进去，这时所得价值为:f[i-1][v]

第二种是第i件放进去，这时所得价值为：f[i-1][v-c[i]]+w[i]

（第二种是什么意思？就是如果第i件放进去，那么在容量v-c[i]里就要放进前i-1件物品）

最后比较第一种与第二种所得价值的大小，哪种相对大，f[i][v]的值就是哪种。

（这是基础，要理解！）

这里是用二位数组存储的，可以把空间优化，用一位数组存储。

用f[0..v]表示，f[v]表示把前i件物品放入容量为v的背包里得到的价值。把i从1~n(n件)循环后，最后f[v]表示所求最大值。

*这里f[v]就相当于二位数组的f[i][v]。那么，如何得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]+w[i]？（重点！思考）
首先要知道，我们是通过i从1到n的循环来依次表示前i件物品存入的状态。即：for i=1..N
现在思考如何能在是f[v]表示当前状态是容量为v的背包所得价值，而又使f[v]和f[v-c[i]]+w[i]标签前一状态的价值？

逆序！

"

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>

using namespace std;


struct Bag
{
    int w,v;
}bag[1007];
int main()
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);

    int T, N, V;
    scanf("%d", &T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d%d",&N, &V);
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            scanf("%d", &bag[i].v);
        }
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            scanf("%d", &bag[i].w);
        }
        long long dp[1007];
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 0; i < N; i++)
        {
            for (int j = V; j >= bag[i].w; j--)
            {
                dp[j] = max(dp[j], dp[j-bag[i].w] + bag[i].v);
            }
        }
        cout << dp[V] << endl;
    }
}

"

完全背包：

完全背包(CompletePack): 有N种物品和一个容量为V的背包，每种物品都有无限件可用。第i种物品的费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

完全背包按其思路仍然可以用一个二维数组来写出：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k*c[i]<=v}

同样可以转换成一维数组来表示：

伪代码如下：



for i=1..N
    for v=0..V
        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}





顺序！

想必大家看出了和01背包的区别，这里的内循环是顺序的，而01背包是逆序的。
现在关键的是考虑：为何完全背包可以这么写？
在次我们先来回忆下，01背包逆序的原因？是为了是max中的两项是前一状态值，这就对了。
那么这里，我们顺序写，这里的max中的两项当然就是当前状态的值了，为何？
因为每种背包都是无限的。当我们把i从1到N循环时，f[v]表示容量为v在前i种背包时所得的价值，这里我们要添加的不是前一个背包，而是当前背包。所以我们要考虑的当然是当前状态。

"

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

struct Coin
{
    int v, w;
}coin[507];
int dp[10007];
int main()
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    int T, E, F;
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        int n;
        scanf("%d%d", &E, &F);
        scanf("%d", &n);
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            scanf("%d%d", &coin[i].v, &coin[i].w);
        }
        F -= E;
        fill(dp, dp+10007, INF);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            for (int j = coin[i].w; j <= F; j++ )
            {
                if (dp[j] > dp[j-coin[i].w]+coin[i].v)  dp[j] = dp[j-coin[i].w]+coin[i].v;
            }
        }
        if (dp[F] == INF) cout << "This is impossible." << endl;
        else cout << "The minimum amount of money in the piggy-bank is " << dp[F] <<"." << endl;
    }
}

 

"

多重背包

多重背包(MultiplePack): 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有n[i]件可用，每件费用是c[i]，价值是w[i]。求解将哪些物品装入背包可使这些物品的费用总和不超过背包容量，且价值总和最大。

这题目和完全背包问题很类似。基本的方程只需将完全背包问题的方程略微一改即可，因为对于第i种物品有n[i]+1种策略：取0件，取1件……取n[i]件。令f[i][v]表示前i种物品恰放入一个容量为v的背包的最大权值，则有状态转移方程：

f[i][v]=max{f[i-1][v-k*c[i]]+k*w[i]|0<=k<=n[i]}

这里同样转换为01背包：

普通的转换对于数量较多时，则可能会超时，可以转换成二进制（暂时不了解，所以先不讲）

对于普通的。就是多了一个中间的循环，把j=0~bag[i]，表示把第i中背包从取0件枚举到取bag[i]件。

"

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
using namespace std;


struct  Rice
{
    int money, weight, num;
}rice[128];
int main()
{
    int T;
    freopen("in.txt" ,"r", stdin);
    scanf("%d", &T);
    while (T--)
    {
        int n, m;
        scanf("%d%d", &n, &m);
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            scanf("%d%d%d", &rice[i].money, &rice[i].weight, &rice[i].num);
        }
        int dp[128][128];//定义dp[i][j] 前i 件大米 在背包容量为j 的情况下 获得的最多重量
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for(int i = 0; i < m; i++)
        {
            for (int j = 0; j <= n; j++)
            {
                for (int k = 0; k <= rice[i].num && k*rice[i].money <= j;k++)
                {
                    dp[i+1][j] = max(dp[i+1][j], dp[i][j-k*rice[i].money] + k*rice[i].weight);
                }
            }
        }
        //重复利用数组 转化为01背包
        int dp1[128];//背包容量为i时 可以取 得 的最大值
        memset(dp1, 0, sizeof(dp1));
        for (int i = 0; i < m; i++)
        {
            for (int j = 0; j < rice[i].num; j++) //这么多个 就只能取这么多次
            {
                for (int k = n; k >= rice[i].money; k--)
                {
                    dp1[k] = max(dp1[k], dp1[k-rice[i].money]+rice[i].weight);
                }

            }
        }
        cout << dp1[n] << endl;
    }
}