最长递增子序列 (LIS) Longest Increasing Subsequence

问题描述：

有一个长为n的数列a0, a1,..., an-1.请求出这个序列中最长的上升子序列。请求出这个序列中最长的上升子序列。

上升子序列：对于任意i<j都满足ai<aj的子序列.

限制条件

i <= n <= 1000

0 <= ai <= 1000000

两种定义方式 具体看程序注释

#include <iostream>
#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#define INF 0x3f3f3f3f
using namespace std;

int n;
int a[128];
//定义 dp[i] 以a[i]作为最末数字的的最长子序列
//状态转移方程 dp[i] = 1//自己
//                   = max(dp[i], dp[j]+1) //i > j && a[i] > a[j] 将a[i] 添加在a[j]后面
int main()
{
    freopen("in.txt", "r", stdin);
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        scanf("%d", &a[i]);
    }
    int dp[128];
    memset(dp, 0, sizeof(dp));
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        dp[i] = 1;
        for (int j = 0; j < i; j++)
        {
            if (a[j] < a[i]) dp[i] = max(dp[i], dp[j]+1);
        }
    }
    cout << dp[n-1] << endl;
    //复杂度 O(n^2)
    //---------------------------------------------------------------------------//
    //定义dp[i] 长度为i+1 的序列 的最小结尾值 因为结尾值最小 在后面更新时 越有优势
    //状态转移方程 dp[i] = min(dp[i], a[j])
    fill(dp, dp+128, INF);
    for (int j = 0; j < n;j++)//注意是要对每一个数从前往后只检查一次 去看能否替换 dp数列中的某个值
    {
        for (int i = 0; i < n; i++)
        {
            if (i == 0 || dp[i-1] < a[j]) dp[i] = min(dp[i], a[j]);//因为是要求递增 那么比前一个大的话更新这一位 使这一位为最小值
        }
    }//这样实现也是O(n^2)的复杂度
    //但是在查找a[j]的过程 可以使用二分查找 优化这样复杂度变为n*logN
    int ans = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (dp[i] < INF) ans = i+1;
    }
    cout << ans << endl;
    //--------------------------------------------------------------------//
    fill(dp, dp+128, INF);
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        *lower_bound(dp, dp+n, a[i]) = a[i];//dp[0] 到 dp[n-1] >= a[i] 的最小指针 也就是按照从左到有的顺序
    }
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        if (dp[i] < INF) ans = i+1;
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}