背包九讲学习

DD大牛的背包九讲真是神。等我全看懂了回来更博。

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upd

如果不是我看错了，那一定是神犇讲的太明白了。

我尝试用几句话概括一下前面部分(P01-P05)，每回重新看有些麻烦。

$cost\rightarrow花费，value\rightarrow价值$

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01背包

决策：选或不选，$f[v]$表示v花费可以得到最大价值。则

$for\space v=V...cost$
$f[v]=max(f[v],f[v-cost]+value)$

只能由上一层转移来，所以倒序保证不影响。

想要恰好$V$就只有$v=0$合法即初始化$f[0]=0$，其他为$-inf$。不需要都赋为$0$。

所有问题的基础。$O(nV)$

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完全背包

总是记不住这些名字，就当做是“完全随便拿”的背包吧，，，则

$for\space v=cost...V$
$f[v]=max ( f[v],f[v-cost]+value ) $

类似01，可以同层转移，就这样咯。$O(nV)$

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多重背包

类似完全背包。加一些限制。是“可以重复多拿”的，但不能太多，每个物品有限制。

想法是拆成二进制的。比如$13=1+2+4+6$这么拆，不要记错了。

楼教主“男人八题”那个单调队列的暂时不会，挖坑。

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废话

一些显而易见的贪心。超过$V$的不能选，完全背包里$cost$又大$value$又小的，不去选ta。

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混合背包

好像没啥说的，前三个混到一块各做各的该咋做咋做就行。。

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二维花费

那就二维状态，类比一下就行。则

$for\space v=V...cost1$

$for\space u=U...cost2$

$f[v][u]=max(f[v][u],f[v-cost1][u-cost2]+value)$

只要不从同一层状态转移过来就好。

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写完感觉好傻啊。

所以说重点在于泛化物品咋做。

泛化物品定义成这样：对于你赋给它的每一个花费会获得对应的价值。

更数学化一些，这是一个函数，定义域为$V$，自变量是花费$cost$，函数值是价值$value$。对于每个$cost$都有一个对应的$value$，如果某个$cost$没有定义，我们可以视之为$-inf$。

具体来说，比如01背包中的背包，当且仅当赋给它$cost$值时有函数值$value$，其他为$-inf$。

又如多重背包，我们甚至可以写出解析式：$f[x]=x\div cost \times value (cost|x)$

当然啦，我们抽象出这样一个定义又有什么用呢？

泛化物品可以做加法！！！

对于两个泛化物品$a,b$，我们把他们加成一个泛化物品$c$，即

$c[v]=max(a[i]+b[v-i])(0\leq i\leq v)$

复杂度$O(V^2)$。

于是现在再来说刚才没说的分组背包和有依赖的背包。

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分组背包

物品分成了$k$组，每组内物品只能选一个或不选。

每组做一次01背包，就可以当做$k$个泛化物品做了。$O(kV^2)$

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（树形）依赖背包

依赖显然不会存在环，所以普通的依赖也可以转成树形。

然后通法就是：儿子当做泛化物品，则父亲是儿子之和，递归处理之。

这里会补上一个代码。

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至此我对背包九讲的理解结束了！！现在看起来真的不是很难懂的东西但却十分巧妙，尤其是用函数的思想将物品转化成泛化物品，让我不得不佩服DD大牛%%%。最后一讲我没有细看，如果有时间我应该会回来更博写一下。

 

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upd

树形背包有$O(NM)$做法的啊。所以上面的代码就不补了（已经用那种做法水掉CTSC1998选课了，时间上差了好多顿时不想贴那个的代码了）。

$dp[i][j]$表示选择了节点 $i$ (及其所有祖先节点) (即根节点到 $i$ 的路径——记作 $Pi$ 上的所有节点），此外再在 $Pi$ 的左侧和子树 $i$ 中选择总体积不超过 $j$ 的物品的最大价值。

void dfs(int u,int f,int cost)
{
    if(cost<=0)return ;
    for(int i=0;i<e[u].size();i++){
        int v=e[u][i];
        if(v==f)continue;
        for(int j=0;j<=cost;j++)dp[v][j]=dp[u][j];
        dfs(v,u,cost-b[v]);
        for(int j=b[v];j<=cost;j++)dp[u][j]=max(dp[u][j],dp[v][j-b[v]]+a[v]);
    }
}