概率生成函数学习

https://www.cnblogs.com/zzctommy/p/14256844.html

https://www.cnblogs.com/HenryHuang-Never-Settle/p/14702997.html

概率生成函数，设多项式 $F(x)=\sum P(X=i)x^i$。

则：

• $F(1)=1$；

• $E(x)=F'(1)$;

• $E(x^{\underline{k}})=F^{(k)}(1)$，$k$ 阶导。

• $E(x^2)=E(x^{\underline{2}}+x^{\underline{1}})=E(x^\underline 2)+E(x^\underline 1)=F''(1)+F'(1)$。

• 方差 $V(x)=E((x-E(x))^2)=E(x^2-2xE(x)+E(x)^2)=E(x^2)+E(x)^2-2E(x)E(x)=E(x^2)-E(x)^2$，即方差等于随机变量平方的期望减去期望的平方。

• 设 $G(x)=\sum P(X > i)x^i$，则有 $1+xG(x)=F(x)+G(x)$。

• $E(x)=F'(1)=G(1)$。

大小写分不清楚了。。

250.P4548 CTSC2006歌唱王国

答案就是 $F'(1)$。

显然有 $1+xG(x)=F(x)+G(x)$，求导后可得 $F'(1)=G(1)$。

还有 $F(1)=1$。

以及

$$G(x)(\dfrac{x}{n})^{m}=\sum_{i=1}^{m}A_iF(x)(\dfrac{x}{n})^{m-i}$$

表示还没结束，后面加入一个完整的 $S$，但是可能提前结束，枚举在什么时候提前结束，$A_i$ 表示 $S[1,i]$ 是否为字符串的 border。

代入 $x=1$ 后可得，$G(1)=\sum_{i=1}^{m}A_in^i$。

251.Hitori的作文(string)

设 $w_p$ 表示得到连续的字符串 $p$ 的概率，则 $w_p=\prod_{i=1}^{n} a_{p_i}$显然也有

$$G(x)\cdot x^{|S|} \cdot w_S=\sum_{p,\operatorname{p is a border of S}} F(x)\cdot x^{|S|-|p|}\cdot w_{S-p}\\=\sum_{p,\operatorname{p is a border of S}} F(x)\cdot x^{|S|-|p|}\cdot \frac{w_S}{w_p}$$

则：

$$G(1)=\sum_{p,\operatorname{p is a border of S}}\frac{1}{w_p}$$

252.P3706 [SDOI2017] 硬币游戏 and 加强版

给定 $n$ 个序列 $A_1,A_2,\cdots,A_n$，第 $i$ 个序列的长度为 $L_i$。每次从 $[1,m]$ 中以 $p_i$ 的概率生成一个数 $i$ 加入初始为空的序列 $B$ 末尾，若 $A_1,A_2,\cdots ,A_n$ 均为 $B$ 的子串则停止。求序列 $B$ 的期望长度。

答案为 $E(\max(T_i))$，$T_i$ 表示 $i$ 首次出现时的长度。

容斥后答案为：$\sum_{S\subseteq\{1,2,\cdots n\}}(-1)^{|S|+1}E(\min_{i\in S}(T_i))$。

即只考虑 $S$ 中字符串，出现一个 $A_i$ 就停止的期望长度。

设 $G(x)$ 表示 $i$ 轮之后还没结束的概率。

记 $F_i(x)$ 表示第 $i$ 个人在第 $j$ 轮获胜概率，$P(T)=\prod_{i\in T} p_i$，$a_{i,j,k}=[A_i[1,k]=A_j[L_{j}-k+1,L_j]]$。

则有：

$$\sum_{i=1}^{n}F_i(x)+G(x)=1+xG(x)\\ \forall i\in S,G(x)P(A_i)x^{L_i}=\sum_{j\in S}\sum_{k=1}^{L_i}a_{i,j,k}F_j(z)P(A_i[k+1,L_i])x^{L_i-k}$$

答案就是 $\sum_{i=1}^{n}F_i'(1)$。

带入 $x=1$ 得到 $n$ 个方程，同时还有 $\sum_{i=1}^{n}F'(1)=G(1),\sum_{i=1}^{n}F(1)=1$。

高斯消元即可。

2024.8 hdu A

P4581 [BJOI2014] 想法

$E\min(x_i)=\frac{1}{n+1}$

高山流急

记录经典结论，$n$ 个 $[0,1]$ 的均匀随机变量的和 $\le z$ 的概率是为：

$$\sum_{i=0}^{\lfloor z\rfloor}(-1)^i\binom{n}{i}\frac{(z-i)^n}{n!}$$

大概思路是我们只需要知道 B(e^x) 的前 $m$ 项，求出 $P(e^x)$ 和 $Q(e^x)$ 的前 $m$ 项除一下就好了。

http://192.168.102.138/JudgeOnline/upload/attachment/file/20230511/20230511063343_81474.pdf

PGF 问题的进阶。

这个东西，本来有 $2G'(1)$，但是系数出错。