砍伐树木

题目描述

小华被大林叫去砍树，他需要砍倒 m 米长的木材。现在，小华弄到了一个奇怪的伐木机。伐木机工作过程如下：小华设置一个高度参数 h（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 h，并锯掉所有的树比 h 高的部分（当然，树木不高于 h 米的部分保持不变）。小华就得到树木被锯下的部分。 例如，如果一行树的高度分别为 20、15、10 和 17 米，小华把锯片升到 15 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 15、15、10 和 15 米，而小华将从第 1 棵树得到 5 米，从第 4 棵树得到 2 米，共得到 7 米木材。 小华非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这正是他为什么要尽可能高地设定伐木机锯片的原因。帮助小华找到伐木机锯片的最大的整数高度 h，使得他能得到的木材至少为 m 米。换句话说，如果再升高 1 米，则他将得不到 m 米木材。

输入格式

第 1 行 2 个整数 n 和 m，n 表示树木的数量，m 表示需要的木材总长度。 第 2 行 n 个整数，表示每棵树的高度，值均不超过 10 9 。保证所有木材长度之和大于 m，因此必然有解。

输出格式

一行一个整数，表示砍树的最高高度。

输入样例

5 20
4 42 40 26 46

输出样例

36

要求

对于 30% 的数据满足：1≤n≤10，1≤m≤30。 对于 70% 的数据满足：1≤n≤103 ，1≤m≤104 。 对于 100% 的数据满足：1≤n≤106 ，1≤m≤2×109 。

本人暴力枚举的时候，自己编译时，发现只有样例过了，自己编的数据一个都没过（内心有点酸~~~），后来才发现其实是可以二分答案的，原因是题目要求找到最短距离的最大值，这种题目用二分做最合适。

二分

二分好比说你要从一本英汉词典上查一个单词，你从头到尾一页一页的翻着找，这样找可以保证一定能找到，但是最坏情况你要把整本词典都翻一遍，那就麻烦了。 有什么改进的方法吗？当然有。

考虑把这个词典从中间分开，看一下中间那一页的主要单词都是啥，然后去判断我要找的单词应该在左半部分还是右半部分，再去那一部分考虑怎么找就好了。同样的，在另一部分也是要进行划分并且判断的操作。这样一直进行下去，便能很快的找到答案，而且根本不需要翻过整个词典来。

可以证明，如果一页一页的找，最多要找n次，但是用这个方法，最多找floor(log2n)次。 我们把这个方法叫做“二分答案”。顾名思义，它用二分的方法枚举答案，并且枚举时判断这个答案是否可行。但是，二分并不是在所有情况下都是可用的，使用二分需要满足两个条件。一个是有界，一个是单调。

二分答案应该是在一个单调闭区间上进行的。也就是说，二分答案最后得到的答案应该是一个确定值，而不是像搜索那样会出现多解。二分一般用来解决最优解问题。刚才我们说单调性，那么这个单调性应该体现在哪里呢？

可以这样想，在一个区间上，有很多数，这些数可能是我们这些问题的解，换句话说，这里有很多不合法的解，也有很多合法的解。我们只考虑合法解，并称之为可行解。考虑所有可行解，我们肯定是要从这些可行解中找到一个最好的作为我们的答案， 这个答案我们称之为最优解。

最优解一定可行，但可行解不一定最优。我们假设整个序列具有单调性，且一个数x为可行解，那么一般的，所有的x'(x'<x)都是可行解。并且，如果有一个数y是非法解，那么一般的，所有的y'(y'>y)都是非法解。

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主要思路

分析题意，如果砍树的高度是一行树中最高一棵的高度，则砍下的木材的长度为 0。而如果砍树的高度为 0，即地面的高度，则将砍下所有的树木，由题意可知，这个值一定大于 m。那么，我们逐步升高砍树的高度 h，显然，砍下的木材数量会反过来逐渐减少。变化的规律是：h 在“单调”上升时，砍下的木材数量“单调”下降。这样，当 h 上升到某个确定的高度时，砍下的木材数量将少于需要的值 m，我们说，这个高度减一的位置就是所求。

由于砍树的高度和砍下的木材总量的变化都是单调的，可以用“二分答案”的方法去快速地确定这个最高的砍树高度。二分区间的左端点 low 设为 0，右端点 high 设为最高一棵树的高度，区间中点 mid=（low+high+1）/2，然后以 mid 作为砍树的高度，线性扫描 n 棵树，计算出砍下的木材总量 sum。如果 sum 大于或等于 m，则将区间左端点更新为 mid，因为还可以继续尝试一个更高的砍树高度。如果 sum 小于 m，则说明 mid 不符合要求，需要减小砍树高度，于是把区间右端点更新为 mid-1。当左右区间重合时，查找结束。由于每次保证了区间左端点都符合要求，因此返回 low 作为问题的答案。算法的时间复杂度为 O（n log2（max（h））），空间复杂度为 O（n）。

——————AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e6+99;
int n,m,ans,l=1,r;
int a[maxn];
bool js(int k){
    long long d=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        if (a[i]>k) d+=a[i]-k;
    if (d>=m) return true;
	return false;
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    for (int i=1;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        if (a[i]>r) r=a[i];
    }
    while (l<=r){
        int mid=(l+r)/2;
        if (js(mid)) ans=mid,l=mid+1;
        else r=mid-1;
    }
    cout<<ans;
	return 0; 
}

————QAQ

机房dalao的奇特思路——WA ! ! !

先对 n 棵树从低到高排序。然后从高向低扫描，每当相邻两棵树有高度差时，以低的那棵树的高度作为砍树高度。我们维护这个砍下的木材数量之和以及前一次砍树高度这两个值。每一次砍树后新增的木材数量是前后两次砍树的高度差乘以当前这棵树之后的树木的棵数。这样在不断扫描的过程中，砍树高度会逐渐降低，而砍下的木材总量会逐渐增加。一旦在某个高度时，砍下的木材总量超过 m，则经过数学计算可以知道应该升高多少高度，使得对于这最后一次的砍树高度，满足“砍树高度尽可能高”的要求。这个算法的时间复杂度为O（n log2n），空间复杂度为 O（n）。

鄙人不才，没搞到代码。
危——————