[bzoj1925]地精部落

传送门

题目描述

传说很久以前，大地上居住着一种神秘的生物：地精。 地精喜欢住在连绵不绝的山脉中。具体地说，一座长度为 N 的山脉 H可分 为从左到右的 N 段，每段有一个独一无二的高度 Hi，其中Hi是1到N 之间的正 整数。 如果一段山脉比所有与它相邻的山脉都高，则这段山脉是一个山峰。位于边 缘的山脉只有一段相邻的山脉，其他都有两段（即左边和右边）。 类似地，如果一段山脉比所有它相邻的山脉都低，则这段山脉是一个山谷。 地精们有一个共同的爱好——饮酒，酒馆可以设立在山谷之中。地精的酒馆 不论白天黑夜总是人声鼎沸，地精美酒的香味可以飘到方圆数里的地方。 地精还是一种非常警觉的生物，他们在每座山峰上都可以设立瞭望台，并轮 流担当瞭望工作，以确保在第一时间得知外敌的入侵。 地精们希望这N 段山脉每段都可以修建瞭望台或酒馆的其中之一，只有满足 这个条件的整座山脉才可能有地精居住。 现在你希望知道，长度为N 的可能有地精居住的山脉有多少种。两座山脉A 和B不同当且仅当存在一个 i，使得 Ai≠Bi。由于这个数目可能很大，你只对它 除以P的余数感兴趣。

输入格式

仅含一行，两个正整数 N, P。

输出格式

仅含一行，一个非负整数，表示你所求的答案对P取余 之后的结果。

输入样例

4 7

输出样例

3

数据范围

对于 20%的数据，满足 N≤10； 对于 40%的数据，满足 N≤18； 对于 70%的数据，满足 N≤550； 对于 100%的数据，满足 3≤N≤4200，P≤109

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主要思路

考试时本蒟蒻用打表水了30分（莫名其妙想起水哥哈哈——~）嗯，好题！ ！ ！

此题算法:奇怪的dp 一堆奇怪的dp,好像都能AC的样子

正确的dp却深藏不露(...

↑一堆dp:

1.(错)生成山顶数列，山谷数列，合并

2.(错)左一个合法数列，右一个合法数列

3.(错)记录剩下的数。

想了这么多方法可见我这个下午有多苦恼~

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4.(正解)变♂幻♂山♂谷

①dp[i][j]表示数列中有i个数，第一个数为山顶且是j(你想最后一个数是j也可以)。 ②分两种情况讨论dp[i][j]的值:

首先我们必须要搞清楚3个性质

First: 在一个波动数列中，若两个 i 与 i+1 不相邻，那么我们直接交换这两个数字就可以组成一个新的波动数列； 举个栗子： 5 2 3 1 4 4 2 3 1 5

Second: 把波动数列中的每个数字Ai 变成 (N+1)-Ai 会得到另一个波动数列，且新数列的山峰与山谷情况相反； 举个栗子： 1 4 2 5 3 （用 6 - 每个数） 1是山谷，4是山峰，后面类推5 2 4 1 3 这个数列也是波动的 ，且 5是山峰，2是山谷；

Third: 波动序列有对称性。 栗子：1 4 2 5 3 to 3 5 2 4 1

所以，动态转移方程：

dp[i][j]=dp[i−1][i−j+1]+dp[i][j−1]

分为j与j-1相邻或不相邻

##首先，我每次求 j作序列头，且表示山峰 由性质一可知，当j与j-1不相邻的时候，j作为头所有的方案数与j-1作为头的方案数相同，于是就有DP[I][J]=DP[I][J-1];

对于DP[i][j]+=DP[i-1][i+j-1];就是当j 与 j-1相邻时的情况； 我们可以这么想，我第一个数选择了J 并且定义为山峰，那我第二个数j-1必定为山谷，后面的数属于[1,j-1]和[j+1,i]； 此时问题转化成了求 i-1个数，j-1为头，但是j-1 为山谷的方案数，由性质2可知，j-1作山谷和作山峰的方案数相同；

好好想想为什么吧↑

dp[i][j]有而dp[i][j−1]没有的部分: dp[i−1][i−j+1]↓

dp[i][j]包含dp[i][j−1]方案的部分: dp[i][j−1]↓

————————AC代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n,p,ans,dp[2][N]; //滚动数组
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&p);
	dp[0][2]=1;
	for(int i=3;i<=n;i++)
		for(int j=2;j<=i;j++)
			dp[i&1][j]=( 
			dp[i&1][j-1]+ 
			dp[i&1^1][i-j+1])%p;
	for(int i=2;i<=n;i++)
		ans=(ans+dp[n&1][i])%p;
	printf("%d\n",(ans<<1)%p);
	return 0;
}

思路可能有重复，但图为手画的，喜欢就点个赞吧

谢谢大家! !

————QAQ