最小生成树——Kruskal

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题目描述

如题，给出一个无向图，求出最小生成树，如果该图不连通，则输出 orz。

输入格式

第一行包含两个整数 N,M，表示该图共有 N 个结点和 M 条无向边。 接下来 M 行每行包含三个整数 X_i,Y_i,Z_i，表示有一条长度为 Z_i 的无向边连接结点 X_i,Y_i。

输出格式

如果该图连通，则输出一个整数表示最小生成树的各边的长度之和。如果该图不连通则输出 orz。

样例输入

6 9
2 4 11
3 5 13
4 6 3
5 6 4
2 3 6
4 5 7
1 2 1
3 4 9
1 3 2

样例输出

19

数据规模：

对于 20% 的数据，N≤5，M≤20。 对于 40% 的数据，N≤50，M≤2500。 对于 70% 的数据，N≤500， M≤10^4 。 对于 100% 的数据：1≤N≤5000，1≤M≤2×10^5 。

最小生成树的定义

对于一张图，用最少的边让图连通（任意两点之间可以互相到达），其实就是将多余的边去掉。很显然，要想让有n个定点的图连通，那么至少需要n-1条边，如果一个连通无向图不包含回路（环），那么就是一棵树，最小生成树就是求用最少的费用连通一个无向图，也就是求n-1条边连通一个无向图的总长度最短。

Kruskal算法（贪心）

适用于稀疏图（M远远大于N）

既然要求是让边的总长度最短，我们自然可以想到首先选择最短的边，然后选择次短的边……直到选择了n-1条边为止。这就需要先对所有的边按照权值进行从小到大排序，然后从最小的开始选，依次选择每一条边，直到选择了n-1条边让整个图连通为止。

对边排序如下：

1 2 1
1 3 2
4 6 3
5 6 4
2 3 6
4 5 7
3 4 9
2 4 11
3 5 13

选择过程如下： 1）

2） 3） 4） 5） 到目前为止都很完美，直到选用 2 3 6 这条边时，我们发现此时 2 号顶点和 3 号顶点已经连通了，不再需要 2 3 6 这条边（因为我们对边排序了，好好想想吧~~）。如果加上这条边就会形成回路，那就不是树了，因此需要跳过这条边。 接下来是 4 5 7 这条边，同理这条边我们也不能选用。 最终选用 3 4 9 这条边后，我们已经选用了n-1条边，图已经连通，算法结束，如下： 难点 回顾刚才的算法，比较难于实现的是：判断两个顶点是否已连通。这一点我们可以使用深度优先搜索或者广度优先搜索来解决，但这样效率很低。我们有更好的选择，那就是并查集。将所有的顶点放入一个并查集中，判断两个顶点是否连通，只需判断两个顶点是否在同一个集合（即是否有共同的祖先）即可。这样时间复杂度仅为O(logN)。

算法实现步骤

1、对边排序（sort）； 2、初始化（i的父亲是自己（i））; 3、如果两点尚未连通，cnt+1,合并两点（并查集）； 4、return 0；

时间复杂度 对边进行快速排序是O(MlogM)，在m条边中找出n-1条边是O(MlogN)，所以Kruskal算法的时间复杂度为O（MlogM+MlogN）。通常M要比N大很多，因此时间复杂度为O(MlogM)。 —————————AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,fa[1000001],countt,sum;
struct edge{
	int u,v,w;
}e[1000001];
bool comp(edge a,edge b){
	return a.w<b.w;
}
int get(int x){
    return fa[x]==x?x:fa[x] = get(fa[x]);
}
bool merge(int x, int y){//判断是否<尚未>连通 
    x = get(x);y = get(y);
    if(x==y)return false;
    fa[y] = x;
    return true;
}
void Kruskal(){
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(merge(e[i].u,e[i].v))countt++,sum+=e[i].w;
		if(countt==n-1)return;
	}
} 
int main(){
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=m;i++)cin>>e[i].u>>e[i].v>>e[i].w;
	sort(e+1,e+m+1,comp);
	for(int i=1;i<=n;i++)fa[i]=i;
	Kruskal();
	cout<<sum;
	//if(countt==n-1)cout<<sum;//判断图是否连通
	//else cout<<"orz";
	//防抄袭————QAQ
	return 0;
}

————————QAQ