夹道之樱

传送门已损坏

题目描述

在一座山上，有n个亭子，连接这这n个亭子的，是m条可以双向行走的步道。每条步道的两旁都栽种着两行樱花树，然而由于光照、土质和打理频率差异，每条步道的美观程度并不一样，第i条步道连接着亭子a_i 和亭子b_i ，美观程度为c_i 。 现在我们想从1号亭子前往n号亭子，并且由于不希望景色出现太大差异，我们希望经过的步道的美观度的最大值和最小值的差尽可能小。请你求出这个最小值。

输入格式

第一行两个整数n,m，代表亭子和步道的数量。 接下来m行，每行3个整数a_i ,b_i ,c_i 代表该步道两端的亭子编号和这条步道的美观度。

输出格式

共一个整数，代表在最优方案中，经过步道的美观度的最大值和最小值的差的最小值。

输入样例

4 4
1 2 1
2 4 4
1 3 3
3 4 2

输出样例

1

样例说明

从亭子1到亭子n，共有两条路径： 1→2→4，经过步道的美观度最大值为4，最小值为1，差值为3； 1→3→4，经过步道的美观度最大值为3，最小值为2，差值为1； 因此最小的差值为1。

数据范围：

对于30%的数据，有n ≤ 10,m ≤ 20； 对于60%的数据，有n ≤ 100,m ≤ 200； 对于100%的数据，有n ≤ 2000,m ≤ 4000,1 ≤ ai ,bi ≤ n,1 ≤ ci ≤ 10^5；保证给定的图是个连通图，但可能有重边或自环。

主要思路

本人暴力搜索的时候，自己编译时，发现只有样例过了，自己编的数据一个都没过（内心有点酸~~~），后来才发现竟然是并查集 ！！！

先遍历每一条边，然后合并，如果在合并之后使1点与n点连通，更新ans即可。

——————AC代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,m,f[8010],ans=1e9;
bool vis[8010];
struct Edge{
    int u,v,w;
}a[8020];
 
bool comp(Edge a,Edge b){
    return a.w<b.w;
}
 
int father(int x){
    if(x==f[x])return x;
    return f[x]=father(f[x]); 
}

int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)cin>>a[i].u>>a[i].v>>a[i].w;
    sort(a+1,a+m+1,comp);
    for(int i=1;i<=m;i++){
        for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
        for(int j=i;j<=m;j++){
            f[father(a[j].u)]=father(a[j].v);
            if(father(1)==father(n)){
                ans=min(ans,abs(a[j].w-a[i].w));
                break;
            }
        }
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}

机房dalao的奇妙思路：

考虑只固定美观度最大值$max$，按照上面的方法建图，点$1$与点$n$的连通性明显具有单调性，可以二分找出最大的能使点$1$到$n$连通的$min$，因此我们把上面的枚举$max$和$min$改为枚举$max$，并二分得到$min$，同时更新答案。 时间复杂度$O(m \log m(n+m))$。 除此之外，我们也可以采用并查集，在固定$max$，从大到小扫描$min$的同时在线维护点之间的连通性。 时间复杂度$O(m^2 \alpha(m))$。

——————————QAQ