[NOI2012] 随机数生成器（洛谷P2044）

$题目大意$

题目链接

给定四个数 $m,a,c,X_0$ ，根据公式 :

$X_n+1 =(aX_n +c) \pmod{m}$

求出 $X_n \pmod{g} 的值$

$解题思路$

Q : 这题可以暴力解吗 ？（ %卡常 $dalao$ ）

A : 哦，可以 显然是有规律的啦

• 首先可以先按照递推式推几个
  • $x[1]=(ax[0]+c)\pmod m$
  • $x[2] = a((ax[0] + c)+c) = a^2x[0] + ac + c \pmod m$
  • $x[3] = a(a^2x[0] + ac + c)+c = a^3x[0] + a^2c + ac + c \pmod m$

发现什么了吗？

$x_i$ 的第一项是 $a^i\times x[0]$ 后面是一个首项为 $c$ ， 公比为 $a$ 的等比数列

• $SO$

1. 第一项可以用快速幂解决
2. 如何对一个等比数列求和+取模？看下面
3. 求公比为k的等比数列之和 $Sum(n)$

• $n$ 为偶数 $Sum(n) = Sum(n/2) * [ Pow(k, n/2) +1]$
• $n$ 为奇数 $Sum(n) = Sum(n/2) * [Pow(k, n/2) + 1] + Pow(k, n/1) * t$
• $Pow(k, n/1) * t$ 为数列第 $n$ 项的值

发现这个也可以用递归解决

注：对爆long long乘法的取模，用龟速乘法就可以了

$AC code$

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long mod, a, c, x, n, g, MOD, m;
long long ans;
inline long long multy(long long x, long long y)
{
    long long ret = 0;
    for (; y; y >>= 1)
    {
        if (y & 1)
            ret = (ret + x) % mod;
        x = (x + x) % mod;
    }
    return ret;
}

long long Pow(long long a, long long k)
{
    long long x = a;
    long long ans = 1;
    for (; k; k >>= 1)
    {
        if (k & 1)
            ans = multy(ans, x);
        x = multy(x, x);
    }
    return ans;
}

long long Sum(long long n, long long t)
{
    if (n == 1)
        return t;
    long long ret = Sum(n / 2, t);
    ret = (multy(ret, Pow(m, n / 2) + 1)) % mod;
    //n为偶数 Sum(n) = Sum(n/2) * [Pow(k, n/2) + 1]
    if (n & 1)
        ret = (ret + multy(Pow(m, (n - 1)), t)) % mod;
    //n为奇数 Sum(n) = Sum(n/2) * [Pow(k, n/2) + 1] + Pow(k, n/1) * t （ 数列第n项的值 ）
    return ret;
}

signed main()
{
    cin >> mod >> m >> c >> x >> n >> MOD;
    ans = multy(Pow(m, n), x);
    ans = (ans + Sum(n, c)) % mod;
    cout << ans % MOD;
    return 0;
}

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