RMQ & ST

1. 什么是 $RMQ$

$RMQ$ 是英文 $Range\ Maximum \ (Minimum) \ Query$ 的缩写，顾名思

义是用来求某个区间内的最大值或最小值，通常用在要多次询问一些 $区间最值$

的问题中。

2. 求解 $RMQ$ 问题

今天我们要用的是—— $ST$ 表。

注意的是，ST表只用于静态区间求最值，而动态区间就只能用 线段树 或 树状数 组 了。

3. $ST$ 表

$ST$ 表的功能很简单

它是解决 $RMQ$ 问题(区间最值问题)的一种强有力的工具

它可以做到 $O(nlogn)$ 预处理， $O(1)$ 查询最值

$ST$ 算法思想

ST表是利用的是 $倍增 \ and \ DP$ 的思想

拿最大值来说

我们用 $dp[i][j]$ 表示，以 $i$ 位置为起点的 $2^j$ 个数中的最大值，例如 $dp[2][3]$ 表

示的是 以 $2$ 位置为起点的 $2^3$ 个数中的最大值，即 $2$ 位置和 $7$ 位置中两个数的最

大值

初始化 $dp[i][0]=a_i$

那么转移的时候我们可以把当前区间拆成两个区间并分别取最大值

$dp[i][j] = max(dp[i][j - 1], dp[i + (1 << (j - 1))][j - 1])$

查询时我们先计算出 $log2(区间长度)$

然后对于左端点和右端点分别进行查询，这样可以保证一定可以覆盖查询的区间

则 $ANS = min(dp[l][k], dp[r - (1 << k) + 1][k])$

$AC \ code$

模板题

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define max(a, b) a > b ? a : b
const int maxn = 1e5 + 5;
int n, m;
int a[maxn][21];
int lg[maxn];
void update()
{
    for (int j = 1; (1 << j) <= n; j++)
    {
        for (int i = 1; i + (1 << j) - 1 <= n; i++)
        {
            a[i][j] = max(a[i][j - 1], a[i + (1 << (j - 1))][j - 1]);
        }
    }
}
int query(int l, int r)
{
    int t = lg[r - l + 1] - 1;
    return max(a[l][t], a[r - (1 << t) + 1][t]);
}
signed main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        cin >> a[i][0];
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        lg[i] = lg[i - 1] + (1 << lg[i - 1] == i);
    }
    update();
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << query(l, r) << endl;
    }
}