逆序对2.0

$Description$

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我们称逆序对为一个序列中满足 $i<j$ 且 $a_i > a_j$​ 的二元组 $(i,j)$。

若一个排列的逆序对个数为奇数，则称它为一个奇排列，否则它被称为偶排列。

给出一个长度为 $n$ 的排列，有 $4$ 种操作：

• $\color{Red}1\ l \ r$ 交换 $a_l$​ 和 $a_r$​。
• $\color{Red}2 \ l \ r$ 翻转区间 $[l,r]$ 内的数。
• $\color{Red} 3 \ l \ r \ k$ 将区间 $[l,r]$ 内的数左移 $k$ 位。
• $\color{Red}4 \ l \ r \ k$ 将区间 $[l,r]$ 内的数右移 $k$ 位。

对一个长度为 n 的序列的操作定义如下：

1. $\color{Red}翻转$ 对于所有 $l≤i≤r$ ，将第 $i$ 个位置的数移动到第 $l+r-i$ 个位置。
2. $\color{Red}左移 k 位$ 对于所有 $l<i≤r$ ，将第 $i$ 个位置的数移动到第 $i−1$ 个位置，第 $l$ 个位置的数移动到第 $r$ 个位置。重复此操作 $k$ 次。
3. $\color{Red}右移 k 位$ 对于所有 $l≤i<r$，将第 $i$ 个位置的数移动到第 $i+1$ 个位置，第 $r$ 个位置的数移动到第 $1$ 个位置。重复此操作 $k$ 次。

注意上述定义中同一个操作内的移动都是同时进行的。

$小 \ T$ 想要知道每次操作之后这个排列是奇排列还是偶排列。

$Input$

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第一行两个整数 $n,m$ ，表示序列的长度和操作的次数。

第二行 $n$ 个整数，表示一个 $1$ 至 $n$ 的排列。

接下来 $m$ 行，每行三或四个整数，表示一次操作，具体格式及其含义见题目描述。

$Output$

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共 $m$ 行，表示每次操作后的答案，若为奇排列，则输出 $1$ ， 若为偶排列则输出 $0$ 。

$Sample \ Input$

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样例一：

5 5
1 2 3 4 5
1 1 3
1 2 3
2 2 5
3 1 2 1
4 3 5 1

样例二：

10 10
1 4 3 5 2 9 8 6 7 10
1 2 3
2 3 5
4 3 7 2
2 3 5
3 5 7 4
1 2 6
4 1 10 6
3 2 4 3
1 3 4
2 3 9

$Sample \ Output$

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样例一：

1
0
0
1
1

样例二：

0
1
1
0
0
1
1
1
0
1

$HINT$

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样例一说明：

原排列的逆序对个数为 $0$ 。

第一次操作后序列为：$\boxed{3 \ 2 \ 1 \ 4 \ 5}$ ，逆序对个数为 $3$ ，故输出 $1$ 。

第二次操作后序列为：$\boxed{3 \ 1 \ 2 \ 4 \ 5}$ ，逆序对个数为 $2$ ，故输出 $0$ 。

第三次操作后序列为：$\boxed{3 \ 5 \ 4 \ 2 \ 1}$ ，逆序对个数为 $8$ ，故输出 $0$ 。

第四次操作后序列为：$\boxed{5 \ 3 \ 4 \ 2 \ 1}$ ，逆序对个数为 9，故输出 $1$ 。

第五次操作后序列为：$\boxed{5 \ 3 \ 1 \ 4 \ 2}$ ，逆序对个数为 7，故输出 $1$ 。

数据范围：

对于前 $20 \ \%$ 的数据，$n≤100，m≤10$。

对于前 $40 \ \%$ 的数据，$n≤103，m≤10^3$。

对于前 $60 \ \%$ 的数据，$n≤10^3，m≤5×10^5$。

对于 $100 \ \%$ 的数据，$1≤m≤5×10^5，1≤l≤r≤n，1≤k≤n≤2×10^5$。

$解题思路$

$\color{Red}结论：任意交换两个数 \ a_i \ 和 \ a_j \ ，且 \ a_i \ne a_j \ ，则逆序对数的奇偶性必定改变$

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证明

$i)$ 先研究一下相邻两个元素的对换

考虑序列

$$p \dots ij \dots q$$

$(i,j)$ 对换后

$$p \ldots ji \ldots p$$

我们可以知道， $i$ 与 $j$ 对换后，并不影响 $p$ 对 $i$ ， $p$ 对 $j$ ， $i$ 对 $q$ ， $j$ 对 $q$ 的大小顺序排列，只有 $i$ 与 $j$ 之间的大小排列发生了改变，假设 $i$ ， $j$ 之间的排列为顺序，则对换后，变为逆序，逆序数加 $1$ ，改变奇偶性，若 $i$ ， $j$ 之间的排列为逆序，则对换后，变为顺序，逆序数减 $1$ ， 改变奇偶性

$ii)$ 现在我们来考虑一下一般情况

$$\ldots ik_1 \ldots k_sj \ldots$$

经过 $(i,k_1),(i,k_2) \ldots (i,k_s)$ 共 $s$ 次对换后得到

$$\ldots k_1k_2 \ldots ij \ldots$$

在经 $(i,j)$ 共 $1$ 次对换后得到

$$\ldots k1k2 \ldots ji \ldots$$

又经过 $(j,k_s),(j,k_s-1) \ldots (j,k_1)$ 共 $s$ 次对换后得到

$$\ldots jk_1 \ldots k_si \ldots$$

合计共经过 $2s+1$ 次对换，显然 $2s+1$ 为奇数

由引理 $1$ 可以知道，奇数次对换改变排列奇偶性

$\therefore$ $任意交换两个数 \ a_i \ 和 \ a_j \ ，且 \ a_i \ne a_j \ ，则逆序对数的奇偶性必定改变$

证毕

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解题步骤如下：

先求出原始序列的逆序对数的奇偶性(可以通过归并排序或者树状数组的方法求逆序对数)

操作1. 交换 $1$ 次( $l$ 与 $r$ 不相等) 操作2. 对半交换，相当于 $len/2$ 次操作 $1$ 操作3. 依次向左（或向右）逐位交换。此时操作的序列长度为 $len=r-l+1$ ，那么相当于做 $k*（len-1）$ 次操作 $1$

这里拓展一个知识点：假设整个序列向右移 $k$ 位，相当于将前 $n-k$ 位翻转，对后 $k$ 位翻转，最后对整个序列翻转。

执行上述 $3$ 步即可，这 $3$ 步的顺序可以任意，这样处理的优势是时间复杂度控制在 $O(n)$ ，并且不需要另开空间，直接在原数组上就可以完成。

$AC \ code$

#include <bits/stdc++.h>
#define len b - a + 1
using namespace std;

inline int read()
{
    char c = getchar();
    int x = 0;
    bool f = 0;
    for (; !isdigit(c); c = getchar())
    {
        f ^= !(c ^ 45);
    }
    for (; isdigit(c); c = getchar())
    {
        x = (x << 1) + (x << 3) + (c ^ 48);
    }
    if (f)
    {
        x = -x;
    }
    return x;
}

inline void write(int x)
{
    if (x < 0)
    {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    if (x > 9)
    {
        write(x / 10);
    }
    putchar(x % 10 + '0');
}

int n, m;
int c[700005];
int d[700005];
int ans;

inline int lowbit(int x)
{
    return (x & -x);
}

inline void add(int x)
{
    for (; x <= n; x += lowbit(x))
        c[x]++;
}

inline int sum(int x)
{
    int s = 0;
    for (; x; x -= lowbit(x))
        s += c[x];
    return s;
}

int get()
{
    int res = 0;
    for (int i = n; i >= 1; i--)
        add(d[i]), res += sum(d[i] - 1);
    return res & 1;
}
signed main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        cin >> d[i];
    ans = get();
    for (int i = 1, z, a, b, c; i <= m; ++i)
    {
        z = read();
        a = read();
        b = read();
        if (a > b)
            swap(a, b);
        if (z == 1)
        {
            if (a != b)
                ans ^= 1;
        }
        else if (z == 2)
        {
            if ((len >> 1) & 1)
                ans ^= 1;
        }
        else if (z == 3)
        {
            c = read();
            if ((c * (len - 1)) & 1)
                ans ^= 1;
        }
        else
        {
            c = read();
            if ((c * (len - 1)) & 1)
                ans ^= 1;
        }
        write(ans);
        putchar('\n');
    }
}