数字游戏(number)

数字游戏(number)

题目大意

不高兴找到了一个N行M列的矩阵。矩阵的第一行数字为 $1，2，3，...，M$，第二行数字为 $M+1，M+2，...，2 \times M$，第 $N$ 行数字为 $(N-1)\times M+1，(N-1) \times M+2，...，N \times M$。

例如，对于 $N=3，M=4$ ：

1  2  3  4
5  6  7  8
9 10 11 12

当然这样的矩阵是无趣的，所有他选择了其中一行或一列，将其乘以非负数，会进行 $K$ 次。最后他想知道矩阵中所有值的总和。$\color{red}{由于总和可能会很大，需要总和模 \ 10^9+7。}$

数据范围：

对于 $50\%$ 的数据，$1<=N,M<=1000$。

对于 $100\%$ 的数据，$1<=N,M<=1000000,1<=K<=1000,0<=X,Y<=10^9$。

解题思路

注意：由于本蒟蒻的习惯，可能会对大家造成影响。

$\sum_{i=1}^{n} \to$ 这是求和。

$\sum\limits_{i=1}^{n} \to$ 这是循环。

一开始可以想到对于所有操作，暴力修改一遍，时间复杂度为 $O(nk)$，可拿 $50pts$。(艹，为什么模拟赛时没打暴力？我是sb吗？？？

继续思考，显然可以将所有的操作全部合起来，搞一个离线算法。

即记 $hang_i$ 为第 $i$ 行要乘上的非负数，$lie_i$ 为第 $i$ 列要乘上的非负数。

由于我们不能同时修改行和列，所以先选个修改列，再修改行吧。

此时可以发现，对于原矩阵 $a$，$a_{i,j} = a_{i-1,j} + m$，所以在原矩阵中，第 $i$ 行比第 $i-1$ 行多 $m^2$，因此可以将第一行当做基准，依次求得第二行，第三行....第 $n$ 行。

1    2    3    4
1+m  2+m  3+m  4+m
1+2m 2+2m 3+2m 4+2m

发现规律后，就可以开始修改列了，此时又可以发现，对于修改完列后的矩阵 $b$，$b_{i,j}$ 比 $b_{i-1,j}$ 多 $m\times lie_j$，第 $i$ 行比第 $i-1$ 行多 $a=\sum_{k=1}^{m} lie_k \times m$。

显然对于修改列后的矩阵 $b$，每一行的相差数也是不变的。

例如将第 $2$ 列乘上 $2$：

1  4  3  4
5 12  7  8
9 20 11 12

此时 $lie$ 数组为

1 2 1 1

则 $b_{i,j} = b_{i-1,j}+m\times lie_j$。

先计算修改完列后的矩阵 $b$ 第 $1$ 行的和为 $b=\sum_{k=1}^{m} lie_k \times i$（ $i$ 为原矩阵 $a$ 第 $1$ 行的数）。

由上可得，修改完列后的矩阵 $b$ 第 $i$ 行的和为 $b+a \times (i-1)$。

则答案矩阵 $c$ 第 $i$ 行的和就为修改完列后的矩阵 $b$ 第 $i$ 行的和乘上 $hang_i$，即为 $b+a \times (i-1) \times hang_i$

此时已经可以求得修改完列后的矩阵 $b$ 每一行的和了，乘上 $hang_i$ 再累加就结束了。

然后，就没有然后了。

$$\color{red}{十年 \ OI \ 一场空，不开 \ long \ long \ 见祖宗}$$

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
const int mod = 1e9 + 7;
using namespace std;

int n, m, k;
int a, b, ans;
int lie[1000005], hang[1000005];

signed main()
{
	scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k);
	
	for(int i = 1; i <= m; ++i) lie[i] = 1;
	for(int i = 1; i <= n; ++i) hang[i] = 1;
	
	for(int i = 1; i <= k; ++i)
	{
		char c[5];
		int a, b;
		scanf("%s", c);
		scanf("%lld%lld", &a, &b);
		if(c[0] == 'R') hang[a] = hang[a] * b % mod;
		else lie[a] = lie[a] * b % mod;
	}
	
	for(int i = 1; i <= m; ++i)
	{
		a = (a + lie[i] * m % mod) % mod;
		// a += lie[i] * m;
		// 修改完列的矩阵 b 每一行的相差数。
		b = (b + lie[i] * i % mod) % mod;
		// b += lie[i] * i;
		// 求修改完列的矩阵 b 的第一行的和。
	}
	
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		ans = (ans + (b + a * (i - 1) % mod) * hang[i] % mod) % mod;
		// ans += b + a * (i - 1) * hang[i];
		// 求答案，这不用说了吧。
	}
		
	printf("%lld", ans % mod);
	return 0;
}