P4630 [APIO2018] Duathlon 铁人两项

圆方树的定义

圆方树是用来解决仙人掌图的问题的，那什么是仙人掌图呢？

即不存在边同时属于多个环的无向连通图是一棵仙人掌。

点双连通分量的定义

要介绍圆方树，首先要介绍点双连通分量。

一个点双连通图的一个定义是：图中任意两不同点之间都有至少两条点不重复的路径。

一种简单的定义：不存在割点的图。

但这种定义对于两点一边的图时是没用的，它没有割点，但是并不能找到两条不相交的路径，因为只有一条路径。（也可以理解为那一条路径可以算两次，但的确没有相交，因为不经过其他点）。

在点双连通图内，一个点可能属于多个点双，但是一条边属于恰好一个点双。

更多关于有向图的强连通分量的知识，请看我的博客 $\to$ 强连通分量

更多关于点双连通分量的知识，请看我的博客 $\to$ 双连通分量

继续介绍圆方树

关于圆方树的建图，也比较简单，将一个点双连通分量内的所有边删去，再将一个点双连通分量中的每个点向一个新建的点连边，这个新建的点即是方点。

所以在圆方树中有 $n+c$ 个点，其中 $n$ 是原图点数，$c$ 是原图点双连通分量的个数。

每个点双都可以形成一个菊花图，多个菊花图通过原图中的割点连接在一起（因为点双的分隔点是割点）。

显然，圆方树中每条边连接一个圆点和一个方点。

在下面这张图中，$[1,2,3,4,5]$ 是圆点，$[6,7]$ 是方点。

而如果圆方树连通，则有以下性质：

• 方点之间不会存在连边。

• 原图的割点就是圆方树中度数大于 $1$ 的圆点。

• 圆方数是一棵非常好的树，即点数等于边数加 $1$。

• 圆方树上任意一条路径上圆点方点间隔分布。

• 如果圆点的 $size$ 为 $1$，那么一个圆点子树的 $size$ 和就是它下面的所有点的数量。

• 对于一个点双中的两点，它们之间简单路径的并集，恰好完全等于这个点双，即同一个点双中的两不同点 $u$，$v$ 之间一定存在一条简单路径经过给定的在同一个点双内的另一点 $w$。也就是说，考虑两圆点在圆方树上的路径，与路径上经过的方点相邻的圆点的集合，就等于原图中两点简单路径上的点集。

如果原图中某个连通分量只有一个点，则需要具体情况具体分析，我们在后续讨论中不考虑孤立点。

注意一条边连接两个点的在这里不算点双。

广义圆方树

普通圆方树只能解决仙人掌图上的问题，而广义圆方树则可以将所有无向图转化为圆方树处理。

广义圆方树性质：圆点方点相间，不存在两个‘’相同形状‘’的点相连。

与圆方树不同的是，广义圆方树需要把一条边连接两个点也看成一个点双，原本两个圆点有一条边相连，现在在中间插入一个方点间隔开就好了。

可以参照这张图

圆方树的应用

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题目大意

给定一张简单无向图，问有多少对三元组 $⟨s,c,f⟩$（$s$，$c$，$f$ 互不相同）使得存在一条简单路径从 $s$ 出发，经过 $c$ 到达 $t$。

解题思路

考虑怎么计算这种三元组，可以枚举 $s$ 和 $f$，然后计算从 $s$ 到 $f$ 的点不重复路径中可以经过的点的个数。

$s$ 到 $t$ 点不重复路径中可以经过的点必定在也只能在这条路径所经过的点双内。

所以可以考虑缩点双之后建出圆方树，然后就只需要在树上求出每一对 $(u,v)$ 之间经过的点双点数大小。

但是直接将点双大小加起来的话两个点双的公共点会算重，于是将公共点的权值（圆点）设为 $-1$，方点的权值设为点双的大小。

原因是路径中除端点外每个圆点（即割点）都会被相邻的两点双算两遍，而两端点虽然只被算一遍但本身并不能被统计，故每个点都需要减一。

那么问题又进一步转化成了求树上所有路径的权值和，显然只要分别计算每个点的贡献即可，就是一个简单的 DP。

于是这题便转化成了求树上所有的圆点对之间的路径权值和。

直接做是 $n^2$，

可以换个角度考虑，改为统计每一个点对答案的贡献，即权值乘以经过它的路径条数，这可以通过简单的树形 DP 求出。

AC CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int _ = 100005;

int n, m, cnt;
vector<int> G[_], T[_ * 2];
long long Ans;

int dfn[_], low[_], cnt_node, num;

stack<int> s;

int wjy[_ * 2];

int vis[_ * 2], siz[_ * 2];

void Tarjan(int u)
{
  low[u] = dfn[u] = ++cnt_node;
  s.push(u);
  ++num;
  for (auto v : G[u])
  {
    if (!dfn[v])
    {
      Tarjan(v);
      low[u] = min(low[u], low[v]);
      if (low[v] == dfn[u])
      {
        wjy[++cnt] = 0;
        while (1)
        {
          int x = s.top();
          s.pop();
          T[cnt].push_back(x);
          T[x].push_back(cnt);
          ++wjy[cnt];
          if (x == v)
            break;
        }
        T[cnt].push_back(u);
        T[u].push_back(cnt);
        ++wjy[cnt];
      }
    }
    else
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);
  }
}

void dfs(int u, int fz)
{
  vis[u] = 1;
  siz[u] = (u <= n);
  for (auto v : T[u])
    if (v != fz)
    {
      dfs(v, u);
      Ans += 2ll * wjy[u] * siz[u] * siz[v];
      siz[u] += siz[v];
    }
  Ans += 2ll * wjy[u] * siz[u] * (num - siz[u]);
}

int main()
{
  scanf("%d%d", &n, &m);
  cnt = n;
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    wjy[i] = -1;
  for (int i = 1; i <= m; ++i)
  {
    int u, v;
    scanf("%d%d", &u, &v);
    G[u].push_back(v);
    G[v].push_back(u);
  }
  for (int i = 1; i <= n; ++i)
    if (!dfn[i])
    {
      num = 0;
      Tarjan(i);
      dfs(i, 0);
    }
  printf("%lld\n", Ans);
  return 0;
}