数论

逆元

什么是逆元

在数论中，如果 $ab \equiv 1 \pmod{p}$ ，我们就说 $a$ 和 $b$ 在模 $p$ 意义下互为乘法逆元，记作 $a = inv(b)$。

逆元有什么用呢？

我们常常遇到一些题目要求结果对一个大质数 $p$ 取模，这是因为答案很大，出题人为了不麻烦大家写高精，就采取这样的方法。加减法和乘法对取模运算都是封闭的，所以你可以处处取模来避免溢出。

例如：

$(\color{orange}{12} + \color{blue}{3}) \ \% \ 10 = \color{green}{5}$

$\color{orange}{12} \ \% \ 10 = 2$

$\color{blue}{3} \ \% \ 10 = 3$

$(2 + 3) \ \% \ 10 = \color{green}{5}$

但遇到除法时，就麻烦了：

$(\color{orange}{12} \ \div \ \color{blue}{3}) \ \% \ 10 = 4$

$\color{orange}{12} \ \% \ 10 = 2$

$\color{blue}{3} \ \% \ 10 = 3$

$(2 \div 3) \ \% \ 10 = \ ? \ ? \ ?$

为了解决模意义下的除法问题，我们引入了逆元。

$\color{red}{inv(a) \ 其实可以看作模 \ p \ 意义下的 \ \frac{1}{a}}$，也称为模 $p$ 意义下的 $a^{-1}$。

即 $a \times inv(a) \equiv 1 \pmod{p}$

那么在模 $p$ 意义下， $\frac{a}{b}$ 就可以变形为 $a \times inv(b) \pmod{p}$。

实际上在模 $10$ 意义下 $inv(3) = 7$ ，所以上面的式子可以这样计算：

$(\color{orange}{12} \div \color{blue}{3}) \ \% \ 10 = \color{green}{4}$

$\color{orange}{12} \ \% \ 10 = 2$

$\color{blue}{3} \ \% \ 10 = 3$

$(2 \times inv(3)) \ \% \ 10 = \color{green}{4}$

这里介绍三种计算逆元的方法：扩展欧几里得，费马小定理，线性递推。

扩展欧几里得

这个方法十分容易理解，而且对于单个查找效率似乎也还不错，比后面要介绍的大部分方法都要快(尤其对于 $\bmod{p}$ 比较大的时候)。

这个就是利用拓欧求解线性同余方程 $a*x \equiv c \pmod {b}$ 的 $c=1$ 的情况。我们就可以转化为解 $a*x + b*y = 1$ 这个方程。

先简单讲解一下欧几里德算法：

GCD(x,y)=GCD(x,y-x)

证明：

• 设 $z|x$，$z|y$，则 $z|(y-x)$。

• 设 $z$ 不是 $x$ 的因子，则 $z$ 不是 $x$，$y-x$ 的公因子。

• 设 $z|x$，$z$ 不是 $y$ 的因子，则 $z$ 不是 $x$，$y-x$ 的公因子。

• 证毕。

$GCD(x,y)=GCD(y,x-y)=GCD(y,x-by)=GCD(y,x \ \% \ y)$。

int GCD(int x, int y)
{
	return y == 0 ? x : GCD(y, x % y);
}

这里简单讲解一下扩欧：

对于三个自然数 $a,b,c$，求解 $ap+bq=c$ 的 $(x,y)$ 的整数解。

首先我们要判断是否存在解，对于这个这个存在整数解的充分条件是 $gcd(a,b) | c$。

也就是说 $c$ 为 $a,b$ 最大公因数的一个倍数。

但此时只需要求 $c=gcd(a,b)$ 的情况就行了。

首先，解一定存在。

其次，因为 $GCD(a,b)=GCD(b,a \ \% \ b)$，所以 $p*a+q*b=GCD(a,b)=GCD(b,a \ \% \ b)=p*b+q*a \ \% \ b=p*b+q*(a-a/b \ \% \ b)=q*a+(p-a/b*q)*b$。

根据前面的结论：$a$ 和 $b$ 都在减少，当 $b$ 减到 $0$ 是，就可以得出 $p=1$，$q=0$。

然后递归回去就可以求出最终的 $p$ 和 $q$ 了。

然后详细的求解过程就看这篇文章吧，点这里。

这个做法还有个好处在于，当 $a \bot p$（互质），但 $p$ 不是质数的时候也可以使用。

代码比较简单：

long long exgcd(long long a, long long b, long long &x, long long &y) // 扩欧
{
    if (b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    long long d = exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= (a / b) * x;
    return d;
}

long long inv(long long a, long long p)
{
    long long x, y;
    if (exgcd(a, p, x, y) != 1)
        return -1;
    return (x % p + p) % p;
}

费马小定理

费马小定理是数论里的重要定理，叙述如下：

若 $p$ 是质数，且 $gcd(a, p)=1$ ，则有 $a ^ {p - 1} \equiv 1 \pmod{p}$。

费马小定理是欧拉定理的特殊情况。

欧拉定理如下：

如果 $x$ 和 $n$ 互质，则 $x^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$。

$\phi(x)$ 表示与 $x$ 互质，且在 $1 \sim (x-1)$ 中的数的个数。

证明：

• 设 $a_1,a_2,\sim,a_{\phi(n)}$ 为与 $n$ 互质，且在 $1 \sim (n-1)$ 中的数的个数。

• 将序列 $a$ 所有数乘上 $x$，则有 $xa_1,xa_2,\sim,xa_{\phi(n)}$。

• 可得 $xa_1*xa_2*\sim*xa_{\phi(n)} \equiv a_1*a_2*\sim* a_{\phi(n)} \pmod{n}$。

• 化简得 $x^{\phi(n)}*a_1*a_2*\sim*a_{\phi(n)} \equiv a_1*a_2*\sim* a_{\phi(n)} \pmod{n}$。

• 两边同除以 $a_1*a_2*\sim* a_{\phi(n)}$，得 $x^{\phi(n)} \equiv 1 \pmod{n}$。

• 证毕。

考虑特殊情况，即 $n$ 为质数，则 $\phi(n)=n-1$，有 $x^{n-1} \equiv 1 \pmod(n)$，同时除以 $x$ 得 $x^{n-2} \equiv x^{-1} \pmod(n)$。

上述即为费马小定理。

从逆元的定义推导，可得 $a \times inv(a) \equiv 1 \equiv a ^ {p - 1} \pmod{p}$，于是有 $inv(a) \equiv a ^ {p - 2} \pmod{p}$。

于是对 $a ^ {p - 2}$ 算一下快速幂就好了。

注意这个方法只对 $p$ 是质数的情形有效。

inline long long Pow(long long a, long long n, long long p) // 快速幂
{
    long long ans = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans = ans % p * a % p;
        a = a % p * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

inline long long inv(long long a, long long p)
{
    return Pow(a, p - 2, p);
}

线性递推

例题

给定 $n,p$ 求 $1\sim n$ 中所有整数在模 $p$ 意义下的乘法逆元。

输入保证 $p$ 为质数，且 $1≤n≤3×10^6，n<p<20000528$。

如果我们要求一系列的乘法逆元，而且数据范围是 $1 \leq n \leq 3 \times 10 ^ 6$，常规方法是行不通的。这里介绍逆元的线性递推求法（需保证 $p$ 是质数）。

设 $p = aq + r$， 即 $q = \left\lfloor \frac{p}{a} \right\rfloor$，$r = p \bmod a$。

在模 $p$ 意义下，有 $aq + r \equiv 0 \pmod{p}$。

因为 $inv(x)$ 可看作模 $p$ 意义下的 $\frac{1}{x}$，

所以移项整理得 $a = -r \times inv(q) \pmod{p}$。

则 $inv(a) = -q \times inv(r) \pmod{p}$

即 $inv(a) = -\left\lfloor \frac{p}{a} \right\rfloor \times inv(p \bmod a) \pmod{p}$

#include <bits/stdc++.h>
#define _ (long long)3e6 + 5
using namespace std;

long long Inv[_];

inline long long mod(long long a, long long p)
{
    return (a % p + p) % p;
}

long long inv(long long a, long long p)
{
    if (Inv[a] || a == 0)
        return Inv[a];
    Inv[a] = mod(-p / a * inv(p % a, p), p);
    return Inv[a];
}

long long n, p;

signed main()
{
    scanf("%lld%lld", &n, &p);
    Inv[1] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        printf("%lld\n", inv(i, p));
    }
    return 0;
}