字典树

字典树

算法思想

字典树（$Trie$）是一个比较简单的数据结构，也叫前缀树或 $Trie$ 树，用来存储和查询字符串。

例如，water，wish，win，tie，tired 这几个单词可以用以下方式存储 ：

此时每一个叶子结点递归往上到根节点都是对应一个字符串。

其中每个字符占据一个节点，拥有相同前缀的字符串可以共用部分节点。

起始点是特殊点（我们设为 $1$ 号点），不存储字符。

建树的代码如下：

const int MAXN = 500005;
int nxt[MAXN][26], cnt; // nxt[i][c] 表示 i 号点所连、存储字符为 c + 'a' 的点的编号
void init()              // 初始化
{
    memset(nxt, 0, sizeof(nxt));
    cnt = 1;
}
void insert(const string &s) // 插入字符串
{
    int cur = 1;
    for (auto c : s)
    {
        // 尽可能重用之前的路径，如果做不到则新建节点
        if (!nxt[cur][c - 'a'])
            nxt[cur][c - 'a'] = ++cnt;
        cur = nxt[cur][c - 'a']; // 继续向下
    }
}

查询代码如下 ：

bool Find(const string &s) // 查找某个前缀是否出现过
{
    int cur = 1;
    for (auto c : s)
    {
        // 沿着前缀所决定的路径往下走，如果中途发现某个节点不存在，说明前缀不存在
        if (!nxt[cur][c - 'a'])
            return false;
        cur = nxt[cur][c - 'a'];
    }
    return true;
}

如果是查询某个字符串是否存在，可以另开一个 $vis$ 数组，在插入完成时，把 $vis[叶子节点]$ 设置为 $true$，然后先按查询前缀的方法查询，在结尾处再判断一下 $vis$ 的值。

这是一种常见的套路，即用叶子节点代表整个字符串，保存某些信息。

字典树是一种比较典型的空间换时间的数据结构，我们牺牲了字符串个数 $\times$ 字符串平均字符数 $\times$ 字符集大小的空间，但可以用 $O(n)$ 的时间查询，其中 $n$ 为查询的前缀或字符串的长度。

代码实现

例题

给出 $n$ 个字符串和 $m$ 个查询，每次查询给出一个字符串 $s$。如果 $s$ 没有被给出，输出 WRONG，如果 $s$ 被给出并且是第一次被查询，输出 OK，如果 $s$ 被给出并且不是第一次被查询，输出 REPEAT。

解题思路

维护每一个字符串出现的次数即可，记录在叶子结点上。

AC CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int _ = 3e5 + 5;

int n, m, cnt;
int nxt[_][26];
bool vis[_];
char s[60];

void insert(string s)
{
    int t = 0, len = s.size();
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        int c = s[i] - 'a';
        if (!nxt[t][c])
            nxt[t][c] = ++cnt;
        t = nxt[t][c];
    }
}

int search(string s)
{
    int t = 0, len = s.size();
    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        int c = s[i] - 'a';
        if (!nxt[t][c])
            return 0;
        t = nxt[t][c];
    }
    if (!vis[t])
    {
        vis[t] = true;
        return 1;
    }
    return 2;
}

signed main()
{
    int res;
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        scanf("%s", s);
        insert(s);
    }
    scanf("%d", &m);
    for (int i = 1; i <= m; i++)
    {
        scanf("%s", s);
        res = search(s);
        if (!res)
            puts("WRONG");
        else if (res == 1)
            puts("OK");
        else
            puts("REPEAT");
    }
    return 0;
}

扩展

例题

在给定的 $n$ 个整数 $a_1,a_2,\sim,a_n$ 中选出两个进行异或运算，得到的结果最大是多少？

解题思路

先引入数据结构，$01 \ Trie$ 是 $Trie$ 树衍生出的一种数据结构，它可以用来维护与 $\color{red}{异或}$ 相关的题目。

$01 \ Trie$ 十分简单，我们把若干个数转换成二进制表示，也就是若干个 $01$ 串，然后把这些 $01$ 串插入 $Trie$ 树，得到的 $Trie$ 树称之为 $01 \ Trie$。

异或 ：将两个数都变成二进制，只有在两个比较的位不同时其结果是 $1$，否则结果为 $0$。

(x >> i) & 1 判断十进制数 $x$ 变成二进制后的第 $i$ 位是多少。

我们可以发现，想令异或和最大，那么我们应该尽量保证高位的数不相同。

因为假设我们令从左往右数第 $x$ 位不同，但我们不取第 $x$ 位，那么即使后面所有位上的数字都不相同，损失最多为 $\sum\limits_{i=0}^{x-1}2^i<2^x$。

如果我们把第 $x$ 位取相反的数，后面可能的贡献总和也一定比不取第 $x$ 位的损失要小。

于是我们可以想出一个贪心策略。对于给定的数 $x$，我们可以二进制从高位到低位遍历。

假设当前遍历到了从左往右的第 $i$ 位，若深度为 $i+1$ 的结点中存在权值与 $x$ 的第 $i$ 位相反的结点，我们递归进入该结点；

反之进入另外一个结点递归。

AC CODE

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a[3500005], tr[3500005][2], n, cnt = 1, ans;

inline int read()
{
    static char ch;
    static int n;
    n = 0;
    while (ch < '0' || ch > '9')
        ch = getchar();
    while (ch >= '0' && ch <= '9')
        n = n * 10 + ch - '0', ch = getchar();
    return n;
}

inline void insert(int v)
{
    int u = 1;
    for (int i = 31; i >= 0; --i)
    {
        int k = (v >> i) & 1;
        if (!tr[u][k])
            tr[u][k] = ++cnt;
        u = tr[u][k];
    }
}

inline int query(int x)
{
    int u = 1, ans = 0;
    for (int i = 31; i >= 0; --i)
    {
        int c = (x >> i) & 1;
        if (tr[u][c ^ 1])
        {
            u = tr[u][c ^ 1];
            ans += (int)(1 << i);
        }
        else
            u = tr[u][c];
    }
    return ans;
}

signed main()
{
    n = read();
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        a[i] = read();
        insert(a[i]);
    }
    for(int i = 1; i <= n; ++i) 
        ans = max(ans, query(a[i]));
    printf("%d", ans);
    return 0;
}