奶酪工厂

题目大意

有一个加工厂，第 $i$ 周，生产一个单位需要 $C_i$ 便士。

工厂有一个货栈，保存一单位，每周需要 $S$ 便士，这个费用不会变化，货栈十分强大，可以存无限量的单位，而且保证它们不变质。

工厂接到订单，在第 $i$ 周需要交付 $Y_i$ 单位的奶酪给委托人，第 $i$ 周刚生产的奶酪，以及之前的存货，都可以作为产品交付。

请帮牛们计算这段时间里完成任务的最小代价。

对于 $100\%$ 的数据：$1≤N≤10000；1≤S≤100；1≤C_i≤5000；0≤Y_i≤10000$。

解题思路

有一个显然的思路。

每一周生产的单位，可以自己生产，也可以从前几周生产。

易证，让前几周（包括这一周）中有最小费用（为当周的费用 $+$ 存储所需的费用）的周生产当前所需的所有单位是最优的。

证明：第 $i$ 周花费的费用为：

$$(C_{1}+（i-1)s)*q_1+(C_2+(i-2)s)*q_2+(C_3+(i-3)s)*q_3+...+C_i*q_i$$

其中 $q_1+q_2+...+q_i=Y_i$

为了简化上式，暂且设 $p_{i,j}=C_i+(j-i)s$

则上式等于：

$$p_{i,1}*q_1+p_{i,2}*q_2 + ... + p_{i,i}*q_i$$

设 $Min_k$ 为将上式中的 $p_{i,j}$ 中第 $k$ 小的。

那么上式肯定 $\ge Min_k*q_1+Min_k*q_2+...+Min_k*q_i=Min_k*Y_i \ge Min_{k-1}*Y_i \ge Min_{k-2}*Y_i \ge ... \ge Min_1*Y_i$

综上，$\color{red}{得出让一个有最小费用（当然包括到这一周的存储费用）的周购买当前周的所有单位是最优的，当周最小费用为Min_1*Y_i}$

AC CODE

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int read()
{
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9')
	{
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9')
	{
		x = x * 10 + c - 48;
		c = getchar();
	}
	return x * f;
}

int n, s;

int a, b;

int kkk = INT_MAX;

int ans;

signed main()
{
	n = read();
	s = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		a = read();
		b = read();
		kkk = min(a, kkk + s);
		ans += kkk * b;
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}