阶乘

题目大意

有 $n$ 个正整数 $a_i$，设它们乘积为 $p$，你可以给 $p$ 乘上一个正整数 $q$，使 $p*q$ 刚好为正整数 $m$ 的阶乘，求 $m$ 的最小值。

对于 $100\%$ 的数据，$n<=100000，a_i<=100000$。

解题思路

根据题目可得，根据整数的唯一分解式，$m=a_1^{p_1}*a_2^{p_2}*a_3^{p_3} \ \ ...$，其中 $a_i$ 为质数。

方法一

根据上式，$p$ 也可以分解，那么最小的 $m$ 只需满足包含所有 $a_i^{p_i}$ 就行了。

看一个数 $x$ 中有多少的 $t$ 的方法。

$f(x,t)=\left\lfloor\dfrac{x}{t}\right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{x}{t^2}\right\rfloor + \left\lfloor\dfrac{x}{t^3}\right\rfloor + \ ...$

加到有 $0$ 为止就行了。

采用二分答案，二分 $m$，使 $m$ 满足上面的要求。

时间复杂度为 $O(求所有因子 + n \log n)$

AC CODE

方法一

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define int long long

int read()
{
	int x = 0, f = 1;
	char c = getchar();
	while(c < '0' || c > '9')
	{
		if(c == '-') f = -1;
		c = getchar();
	}
	while(c >= '0' && c <= '9')
	{
		x = x * 10 + c - 48;
		c = getchar();
	}
	return x * f;
}

int n;

int mmax;

int ans = 0;

int a[100005];

void kkk(int x)
{
	int xx = x;
	for(int i = 2; i * i <= xx; ++i)
	{
		if(xx % i == 0)
		{
			while(x % i == 0)
			{
				x /= i;
				a[i]++;
			}
		}
	}
	if(x) a[x]++;
}

int wjy(int x, int y)
{
	int j = y;
	int res = 0;
	while(x >= j)
	{
		res += x / j;
		j = j * y;
	}
	return res;
}

bool check(int mid)
{
	for(int i = 2; i <= mmax; ++i)
		if(wjy(mid, i) < a[i]) return false;
	return true;
}

signed main()
{
	n = read();
	for(int i = 1; i <= n; ++i)
	{
		int x;
		x = read();
		kkk(x);
		mmax = max(mmax, x);
	}
	int l = 1, r = 1e9;
	while(l <= r)
	{
		int mid = (l + r) >> 1;
		if(check(mid))
		{
			ans = mid;
			r = mid - 1;
		}
		else
		{
			l = mid + 1;
		}
	}
	printf("%lld\n", ans);
	return 0;
}